Tema 9

Problema 9.1

Sea el sistema de control representado en la figura:

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using PyCall, LaTeXStrings

schemdraw = pyimport("schemdraw")
dsp = pyimport("schemdraw.dsp")

d = schemdraw.Drawing(unit=1, fontsize=10)

d.add(dsp.Arrow().right().label(L"R", "left"))
comp = d.add(dsp.Mixer(W="+", S="-").anchor("W"))
d.add(dsp.Arrow().right().at(comp.E))
control = d.add(dsp.Box(h=1, w=1).label(L"G_c").anchor("W"))
d.add(dsp.Arrow().right().at(control.E))
proc1 = d.add(dsp.Box(h=1, w=1).label(L"G_1").anchor("W"))
d.add(dsp.Arrow().right().at(proc1.E))
proc2 = d.add(dsp.Box(h=1, w=1).label(L"G_2").anchor("W"))
d.add(dsp.Line().right().at(proc2.E))
dot = d.add(dsp.Dot(radius=0))
d.push()
d.add(dsp.Arrow().right().label(L"C", "right"))
d.pop()
d.add(dsp.Line().down().length(1.5))
d.add(dsp.Line().left().tox(comp.S))
d.add(dsp.Arrow().up().to(comp.S))

d.save("./img/prob901.svg")
d.draw(show=false)

donde \(G_1=\frac{1}{s+1}\) y \(G_2 = \exp(-1.02 s)\).

1. Si \(G_c = K_c\), determinar el offset de la respuesta para una entrada en escalón unidad.

2. Para eliminar el offset se recomienda que el controlador sea PID. ¿Qué valores de diseño recomendaría para los parámetros del controlador PID? Se sugiere usar el método de Ziegler-Nichols.

Problema 9.2

Determinar los parámetros efectivos de un sistema a partir de la curva de reacción que se indica y calcular la frecuencia crítica y la ganancia máxima. Determinar los ajustes de los parámetros de un controlador PID según el método de Ziegler-Nichols y compararlos con los que se obtienen directamente de la curva de reacción.

Tiempo (min)	Resp. (ua)
0	0
1	0
2	0
3	4
4	10
5	19
6	27
7	35
8	41
9	45
30	50

Problema 9.3

Determinar la ganancia de un controlador proporcional para que la razón de disminución de lazo cerrado sea 1/4. La función de transferencia que describe el proceso es:

\[G_p(s)=\frac{1}{s^2+3s+1}\]

Las funciones del medidor y del elemento final de control son iguales a la unidad.

Problema 9.4

Seleccionar la ganancia y tiempo integral de un controlador PI, empleando el criterio de hacer mínima la ISE. Considerar un cambio en escalón unidad para la consigna. El proceso a controlar es de primer orden con ganancia 10 y constante de tiempo 1.0. Asumir que las funciones de transferencia del medidor y del elemento final de control son iguales a la unidad. Los parámetros seleccionades deben cumplir las siguientes restricciones:

\[\begin{split}\begin{cases} 100 \ge K_c \ge 1\\ 10 > \tau_I > 0.1 \end{cases}\end{split}\]

Problema 9.5

Seleccionar la ganancia de un controlador proporcional utilizando el criterio de la razón de disminución 1/4. El proceso a controlar es:

\[G_p(s) = \frac{10}{(s+2)(2s+1)}\]

Asumir que \(G_m(s) = G_f(s) = 1\). Realizar también la sintonía utilizando el criterio del ISE mínimo con un cambio en la consigna en escalón unidad. En ambos casos se debe satisfacer la condición de que \(100 \ge K_c \ge 0.1\). Comparar las sintonías y explicar las diferencias entre ellas.

Problema 9.6

Repetir el problema anterior utilizando la técnica de Ziegler-Nichols en lugar de minimizar el ISE. Comparar los resultados obtenidos con los del problema anterior.

Problema 9.7

Considerar un lazo de control con las siguientes funciones de transferencia:

\[\begin{split}\begin{align} G_f &= 5\\ G_p &= \frac{10}{s+4}\\ G_m &= \frac{1}{10s+1} \end{align}\end{split}\]

1. Realizar la sintonia de un controlador PI utilizando la técnica de Cohen-Coon.

2. Dibujar la curva real de reacción del proceso junto con una aproximación de primer orden con retraso.

Problema 9.8

Repetir el problema anterior con un controlador PID y las siguientes funciones de transferencia:

\[\begin{split}\begin{align} G_f &= 1\\ G_p &= \frac{\mathrm{e}^{-s}}{s+10}\\ G_m &= \frac{5 \mathrm{e}^{-0.1 s}}{0.01s+1} \end{align}\end{split}\]

Problema 9.9

Se obtiene experimentalmente la curva de reacción de un proceso y se obtienen los siguientes datos:

Tiempo (min)	Variable manipulable	Salida medida
-2	100	200
-1	100	200
0	150	200.1
0.2	150	201.1
0.4	150	204.0
0.6	150	227.0
0.8	150	251.0
1.0	150	280.0
1.2	150	302.5
1.4	150	318.0
1.6	150	329.5
1.8	150	336.0
2.0	150	339.0
2.2	150	340.5
2.4	150	341.0

Usando esos valores:

1. Aproximar la respuesta de lazo abierto a un sistema de primer orden con retraso.

2. Seleccionar los parámetros de un controlador PI utilizando la técnica de Cohen-Coon.

Problema 9.10

Utilizando los datos del problema anterior contestar a las siguientes preguntas:

1. Sintonizar un controlador PI utilizando la técnica de Ziegler-Nichols.

2. Comparar los resultados de la sintonía obtenidos con la técnica de Cohen-Coon y a los obtenidos al minimizar la ISE para un cambio en la consigna en escalón unidad.

3. Comparar la tolerancia de las diferentes sintonías a errores en la ganancia, constante de tiempo o tiempo muerto. ¿Cuál de ellas posee una tolerancia mayor?

Problema 9.11

La curva de reacción de un proceso de uns sitema de control de temperatura proporciona los siguientes valores: \(K = 10\), \(\tau = 2\) min y \(t_d = 0.1\) min. Responder:

1. Realizar la sintonía mediante la técnica de Ziegler-Nichols.

2. Comparar la sintonía anterior con la obtenida con la técnica de Cohen-Coon.

3. Asumir que los valores obtenidos con el método de la curva de reacción del proceso no son muy fiables. Calcular qué procentajes de error de los valores \(K\), \(\tau\) y \(t_d\) puede tolerar la sintonía de Ziegler-Nichols sin volverse inestable.