Problema 3.8#

Considerar el tanque encamisado de la figura utilizado como precalentador. Suponiendo que la capacitancia de la pared del tanque es despreciable y que la temperatura en el interior del mismo es uniforme.

Problema 3.8

Deducir:

  1. La función de transferencia para variaciones de \(T_1\) y/o \(T_s\).

  2. El diagrama de bloques del sistema.

  3. La respuesta del sistema para una entrada en escalón unidad en \(T_1\) (\(T_s\) cte).

Solución

a) En este problema se plantea un proceso con dos entradas (\(T_1\) y \(T_s\)) y una respuesta (\(T_2\)). En primer lugar se plantea el Balance Macroscópico de Energía:

\[\label{BME} m C_p \frac{\mathrm{d}T_2}{\mathrm{d}t} = w C_p (T_1 - T_2) + U A (T_s - T_2)\]

donde \(m\) es la cantidad de líquido a calentar en el interior del tanque, \(C_p\) es el calor específico, \(U\) es el coeficiente global de transferencia de calor y \(A\) es el area de intercambio. Como el enunciado del problema no indica que exista ningún sistema de control de nivel se asume que los caudales de las corrientes de entrada y de salida son iguales (\(w_1 = w_2 = w\)).

Operando y agrupando constantes en la ec. [BME] se obtiene:

\[\label{BME2} \tau \frac{\mathrm{d}T_2}{\mathrm{d}t} + T_2 = k_1 T_1 + k_2 T_s\]

donde:

\[\begin{split}\begin{aligned} & \tau = \frac{m C_p}{w C_p + U A} & \\ & k_1 = \frac{w C_p}{w C_p + U A} & \\ & k_2 = \frac{U A}{w C_p + U A} & \end{aligned}\end{split}\]

A continuación se realiza el Balance Macroscópico de Energía en estado estacionario:

\[\label{BMEe} 0 = k_1 T_{1, e} + k_2 T_{s, e} - T_{2, e}\]

Restando las ecuaciones [BME2] y [BMEe], definiendo variables de desviación y realizando la transformada de Laplace a la ecuación resultante se obtiene:

\[\begin{split}\begin{aligned} & \tau s \bar{T}'_2 + \bar{T}_2' = k_1 \bar{T}_1' + k_2 \bar{T}_s' & \\ & \bar{T}_2' = \frac{k_1}{\tau s + 1} \bar{T}_1' + \frac{k_2}{\tau s + 1} \bar{T}_s' & \end{aligned}\end{split}\]

donde las prima indica que se trata de variables de desviación.

b) El diagrama de bloques de este proceso es:

Bloques

donde:

\[\begin{split}\begin{aligned} & G_1 = \frac{k_1}{\tau s + 1} & \\ & G_2 = \frac{k_2}{\tau s + 1} & \end{aligned}\end{split}\]

c) La variación de la temperatura de la corriente de salida del tanque para un cambio en escalón unidad de \(T_1\) será:

\[\bar{T}_2' = \frac{k_1}{\tau s + 1} \frac{1}{s} + 0\]

Realizando la transformada inversa de Laplace y deshaciendo las variables de desviación se obtiene:

\[T_2 = T_{2, e} + k_1 \left( 1 - \mathrm{e}^{- \frac{t}{\tau}} \right)\]