Respuesta a una función sinusoidal

4.4. Respuesta a una función sinusoidal#

Para una entrada sinusoidal de tipo:

\[f (t) = M U (t) \sin \omega t\]

se obtiene la siguiente respuesta:

\[y (s) = \frac{K_p}{\tau_p s + 1} \frac{M \omega}{s^2 + \omega^2}\]

que en tiempo real es:

\[y (t) = \frac{K_p M}{1 + \omega^2 \tau_p^2} \left( \omega \tau_p \mathrm{e}^{- \frac{t}{\tau_p}} \cos \omega t + \sin \omega t \right)\]

Aplicando la propiedad trigonométrica:

\[x \sin \alpha + y \cos \alpha = z \sin (\alpha + \varphi)\]

donde \(z^2 = x^2 + y^2\) y \(\tan \varphi = \frac{y}{x}\), se obtiene:

\[\label{ec:sinusoidal-1} y (t) = \frac{K_p M \omega \tau_p}{1 + \omega^2 \tau_p^2} \mathrm{e}^{- \frac{t}{\tau_p}} + \frac{K_p M}{\sqrt[]{1 + \omega^2 \tau_p^2}} \sin (\omega t + \varphi)\]

donde \(\varphi = \mathrm{atan} (- \omega \tau_p)\).

El primer término de la respuesta es un término transitorio, ya que tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Este término pierde importancia para tiempos grandes.

La respuesta obtenida es de tipo sinusoidal con la misma frecuencia de oscilación \(\omega\) que la entrada pero con un desfase \(\varphi\). Además el desfase está directamente relacionado con la frecuencia angular. Al aumentar el desfase, aumenta el desfase.

En el caso de que la frecuencia angular tienda a infinito, el desfase tiende a \(\frac{\pi}{2}\), que es el desfase máximo.

using SymPy, Plots, LaTeXStrings

t, Kp, M, w, Tp = symbols("t K_p M omega, tau_p", real=true)
s = symbols("s")

L(f) = sympy.laplace_transform(f, t, s, noconds=true)
iL(f)  =sympy.inverse_laplace_transform(f, s, t)

f = L(M*sin(w*t))
G = Kp/(Tp*s+1)

y = iL(G*f)

\[\begin{equation*}\frac{K_{p} M \left(\omega^{2} \tau_{p}^{2} + 1\right) \left(- \omega \tau_{p} e^{\frac{t}{\tau_{p}}} \cos{\left(\omega t \right)} + \omega \tau_{p} + e^{\frac{t}{\tau_{p}}} \sin{\left(\omega t \right)}\right) e^{- \frac{t}{\tau_{p}}} \theta\left(t\right)}{\left(\omega \tau_{p} - i\right)^{2} \left(\omega \tau_{p} + i\right)^{2}}\end{equation*}\]

La respuesta obtenida es compleja. Con un poco de esfuerzo se puede simplificar, quizás de manera sorprendente, es una tarea no trivial.

y = sympy.trigsimp(
    collect(
        collect(
            collect(
                expand(
                    cancel(
                        simplify(
                            expand(y)
                            )
                        )
                    ), exp(t/Tp))
            , Kp*M)
        , w^2*Tp^2+1)
)

\[\begin{equation*}\frac{K_{p} M \left(- \omega \tau_{p} \cos{\left(\omega t \right)} + \omega \tau_{p} e^{- \frac{t}{\tau_{p}}} + \sin{\left(\omega t \right)}\right) \theta\left(t\right)}{\omega^{2} \tau_{p}^{2} + 1}\end{equation*}\]

../_images/01.png — Fig. 4.4 Respuesta oscilatoria de un sistema de primer orden.#

../_images/631ed328957d3e0914c584aae2d8488ac87f73658c4ab541f1be3f2a5f724d49.svg