Problema 3.6

Determinar las funciones de transferencia \(\frac{h_2 (s)}{F_i (s)}\) de los sistemas siguientes:

El fluido tiene una densidad constante y las resistencias son lineales (\(F = \frac{h}{R}\)).

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Solución

La primera figura muestra un sistema de tanques sin interacción ya que el nivel del segundo tanque no influye en el nivel del primer tanque o en el caudal \(F_1\). En cambio, el segundo sistema se trata de un sistema de tanques con interacción ya que el caudal de salida del primer tanque dependerá tanto del nivel del tanque 1 como del nivel del tanque 2.

Tanques sin interacción

En ambos casos el objetivo del problema es encontrar la siguiente función de transferencia (las primas indican que se tratan de variables de desviación):

\[G (s) = \frac{h_2' (s)}{F_i' (s)}\]

representada en el siguiente diagrama:

Si el sistema no presenta interacciones el bloque anterior es equivalente a un sistema en el que hay dos procesos en serie como el que se muestra a continuación:

en el que cada uno de los bloques representa a un depósito. Las funciones de transferencia de estos bloques serán:

\[\begin{split}\begin{aligned} G_1 (s) = \frac{h_1' (s)}{F_i' (s)} & & \\ G_2 (s) = \frac{h_2' (s)}{h_1' (s)} & & \end{aligned}\end{split}\]

Al tratarse de dos procesos en serie:

\[G (s) = G_1 (s) G_2 (s)\]

Para calcular \(G_1\) hay que obtener el modelo matemático que represente la variación con el tiempo del nivel de un depósito en función del caudal de entrada. Se trata del mismo modelo que el del ejemplo del capítulo 2, por tanto:

\[G_1 = \frac{K_1}{\tau_1 s + 1} = \frac{h'_1}{F'_i}\]

donde \(K_1 = R_1\) y \(\tau_1 = A_1 R_1\).

De igual manera para el segundo de los depósitos:

\[G_2 = \frac{K_2}{\tau_2 s + 1} = \frac{h'_2}{F'_1}\]

donde \(K_2 = R_2\), \(\tau_2 = A_2 R_2\) y \(F_1' = \frac{h'_1}{R_1}\).

Sustituyendo \(F'_1\) y operando se encuentra la función de transferencia buscada:

\[G = \frac{K_2}{(\tau_1 s + 1) (\tau_2 s + 1)}\]

Se puede apreciar que se trata de un sistema de segundo orden. La respuesta de este sistema será sobreamortiguada (\(\zeta > 1\)) ya que las raíces del denominador son números reales.

En la figura siguiente se muestra la variación con el tiempo del nivel del depósito para un cambio en el caudal de entrada en forma de escalón unidad. Se observa que la dinámica es más lenta a medida que aumenta el número de tanques:

Tanques con interacción

Para obtener el modelo matemático se realizarán los Balances Macroscópicos de Materia a los tanques (se ha supuesto que la densidad es constante y que no depende del tiempo):

\[\begin{split}\begin{aligned} \text{Tanque 1: }A_1 \frac{\mathrm{d}h_1}{\mathrm{d}t} &= F_i - F_1\\ \text{Tanque 2: } A_2 \frac{\mathrm{d}h_2}{\mathrm{d}t} &= F_1 - F_2 \end{aligned}\end{split}\]

Los caudales de salida de los tanques dependen de las resistencias lineales:

\[\begin{split}\begin{aligned} F_1 &= \frac{h_1 - h_2}{R_1}\\ F_2 &= \frac{h_2}{R_2} \end{aligned}\end{split}\]

El cuadal de salida del primer tanque depende, lógicamente, de la diferencia de alturas entre los dos tanques ya que la presión ejercida por la columna de fluido depende de esa diferencia de nivel. En el caso de que \(h_2\) fuera mayor que \(h_1\) el fluido circularía en sentido contrario. Esta ecuación marca la interacción entre los tanques e impide que las ecuaciones de los balances de materia se puedan resolver de manera independiente. Las dos ecuaciones diferenciales se deben resolver de manera simultanea.

Sustituyendo los caudales en los balances de materia se encuentra:

\[\begin{split}\begin{aligned} A_1 R_1 \frac{\mathrm{d}h_1}{\mathrm{d}t} + h_1 - h_2 = R_1 F_i & \\ A_2 R_2 \frac{\mathrm{d}h_2}{\mathrm{d}t} + \left( 1 + \frac{R_2}{R_1} \right) h_2 - \frac{R_2}{R_1} h_1 = 0 \end{aligned}\end{split}\]

Tal como se ha comentado las dos ecuaciones diferenciales están ligadas (las incógnitas \(h_1 (t)\) y \(h_2 (t)\) aparecen en ambas ecuaciones), se deben resolver simultaneamente. Esta es la diferencia fundamental con los sistemas sin interacción.

A continuación se realizan los balances de materia en estado estacionario:

\[\begin{split}\begin{aligned} h_{1, e} - h_{2, e} = R_1 F_i\\ \left( 1 + \frac{R_2}{R_1} \right) h_{2, e} - \frac{R_2}{R_1} h_{1, e} = 0 \end{aligned}\end{split}\]

donde los subíndices \(e\) indican los valores en estado estacionario.

Restando los balances de materia y los balances en estado estacionario:

\[\begin{split}\begin{aligned} A_1 R_1 \frac{\mathrm{d}h'_1}{\mathrm{d}t} + h'_1 - h'_2 = R_1 F'_i\\ A_2 R_2 \frac{\mathrm{d}h'_2}{\mathrm{d}t} + \left( 1 + \frac{R_2}{R_1} \right) h'_2 - \frac{R_2}{R_1} h'_1 = 0 \end{aligned}\end{split}\]

tomando como variables de desviación:

\[\begin{split}\begin{aligned} h'_1 &= h_1 - h_{1, e}\\ h'_2 &= h_2 - h_{2, e}\\ F'_i &= F_i - F_{i, e} \end{aligned}\end{split}\]

Haciendo la transformada deLaplace:

\[\begin{split}\begin{aligned} (A_1 R_1 s + 1) h'_1 (s) - h'_2 (s) = R_1 F'_i (s)\\ \left[ A_2 R_2 s + \left( 1 + \frac{R_2}{R_1} \right) \right] h'_2 (s) - \frac{R_2}{R_1} h'_1 (s) = 0 \end{aligned}\end{split}\]

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

\[\begin{split}\begin{aligned} h'_1 &= \frac{(\tau_2 R_1) s + R_1 + R_2}{\tau_1 \tau_2 s^2 + (\tau_1 + \tau_2 + A_1 R_2) s + 1} F_i'\\ h'_2 &= \frac{R_2}{\tau_1 \tau_2 s^2 + (\tau_1 + \tau_2 + A_1 R_2) s + 1} F_i' \end{aligned}\end{split}\]

donde \(\tau_1 = A_1 R_1\) y \(\tau_2 = A_2 R_2\).

La respuesta es igual a la de los tanques sin interacción excepto por el término \(A_1 R_2\) del denominador. Es el factor de interacción, ya que cuanto mayor sea mayor es la interacción entre los tanques.

La respuesta, de nuevo, es sobreamortiguada pero más lenta que la del sistema sin interacción. Para el sistema de tanques sin interacción, la constante de tiempo es:

\[\tau_{\mathrm{sin}} = \sqrt{\tau_1 + \tau_2}\]

Para el sistema de tanques con interacción:

\[\tau_{\mathrm{con}} = \sqrt{\tau_1 + \tau_2 + A_1 R_2}\]

Al ser el factor de interacción positivo es evidente que \(\tau_{\mathrm{con}} > \tau_{\mathrm{sin}}\).