Tema 3#

Problema 3.1

Hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

  1. \(f (t) = \mathrm{e}^{- 2 t} \cos (t)\)

  2. \(f (t) = \mathrm{e}^{- 4 t} + \theta(t-2) \sin (t - 2) + t^2 \mathrm{e}^{- 2 t}\)

  3. \(f (t) = 2 \mathrm{e}^{- t} \cos (10 t) - t^4 + 6 \mathrm{e}^{- (t - 10)} \theta(t-10)\)

Problema 3.2

Hallar la transformada inversa de:

  1. \(f (s) = \frac{1}{\frac{s}{3} + 1}\)

  2. \(f (s) = \frac{s}{(s + 1) (s^2 + 1)}\)

  3. \(f (s) = \frac{3 s + 4}{s^3 (s + 2)}\)

  4. \(f (s) = \frac{s^2}{(s^2 + 1)^2}\)

Problema 3.3

Usando la técnica de la transformada de Laplace, encontrar las respuestas transitoria y estacionaria del sistema descrito por la ecuación diferencial siguiente:

\[\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} + 3 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + 2 y = 1\]

con las condiciones iniciales \(y (0) = y' (0) = 1\).

Problema 3.04

La respuesta a un escalón unidad de un sistema viene dada por:

\[y (t) = 1 - \frac{7}{3} \mathrm{e}^{- t} + \frac{3}{2} \mathrm{e}^{- 2 t} - \frac{1}{6} \mathrm{e}^{- 4 t}\]

  1. ¿Cuál es la función de transferencia de dicho sistema?

  2. ¿Cuál sería la respuesta en tiempo real si la entrada fuera un impulso unidad?

Problema 3.5

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

  1. \(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} + 4 y = 3\) con \(y (0) = y' (0) = 1\)

  2. \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + 2 y = 5 \sin (3 t)\) con \(y (0) = 1\)

Problema 3.6

Determinar las funciones de transferencia \(\frac{h_2 (s)}{F_i (s)}\) de los sistemas siguientes:

Problema 3.6

El fluido tiene una densidad constante y las resistencias son lineales (\(F = \frac{h}{R}\)).

Problema 3.7

En un reactor tanque agitado se lleva a acabo una reacción irreversible de primer orden, \(A \rightarrow B\), con un coeficiente cinético \(k = 1 \ \mathrm{h^{-1}}\), El caudal de alimentación es de 10 l/min, con \(c_{A_0}\) = 0.5 mol/l. El volumen del tanque es de 1 \(m^3\). Determinar el efecto causado por una subida instantánea de la concentración a 0.7 mol/l. Indicar cual hubiese sido el transitorio, si la perturbación se hubiera producido en forma de impulso unidad. Cuáles serán la ganancia y la constante de tiempo del sistema?

Problema 3.8

Considerar el tanque encamisado de la figura utilizado como precalentador. Suponiendo que la capacitancia de la pared del tanque es despreciable y que la temperatura en el interior del mismo es uniforme.

Problema 3.8

Deducir:

  1. La función de transferencia para variaciones de \(T_1\) y/o \(T_s\).

  2. El diagrama de bloques del sistema.

  3. La respuesta del sistema para una entrada en escalón unidad en \(T_1\) (\(T_s\) cte).