3.1. Un ejemplo de dinámica de un sistema. ¿Qué se desea conocer?#
Como ejemplo se considera un sistema dinámico de nivel. En este caso se pretende encontrar el comportamiento con el tiempo de un depósito en función del caudal de entrada. Para ello habrá que buscar un modelo matemático que describa dicho comportamiento. Se recomienda seguir el siguiente procedimiento:
Se realiza el diagrama de flujo del sistema: En ese diagrama se marcan todas las variables implicadas. En este caso se trata de un depósito que se descarga por gravedad. Las variables implicadas son:
Sección del depósito: \(A(t)\)
Resistencia de la tubería al paso del fluido: \(R\)
Caudales volumétricos de entrada y salida: \(q_1 (t)\) y \(q_2 (t)\)
Nivel del depósito: \(h(t)\)
Densidad del fluido: \(\rho (t)\)
Fig. 3.1 El nivel del depósito depende de los caudales de entrada y salida del mismo.#
Planteamiento del modelo matemático: Un modelo matemático es un conjunto de ecuaciones que relacionan entre sí las variables del sistema. Se basan en ecuaciones de estado, leyes de equilibrio, ecuaciones cinéticas y balances de materia, energía y cantidad de movimiento.
Para el ejemplo, al aplicar el Balance Macroscópico de Materia:
(3.1)#\[\frac{d A (t) h (t) \rho (t)}{d t} = \rho (t) q_1 (t) - \rho(t) q_2 (t)\]En el momento de plantear el modelo matemático hay que explicitar todas las hipótesis o simplificaciones realizadas. En este caso se han realizado las siguientes suposiciones:
La densidad (\(\rho\)) y el area del depósito (\(A\)) son constantes e independientes del tiempo.
El caudal de salida del depósito depende del nivel y de la resistencia de la tubería al paso del fluido de este modo: \(q_2 (t) = \frac{h (t)}{R}\).
Teniendo en cuenta las hipótesis anteriores la ec. (3.1) queda como:
\[\label{BMMh} A \frac{d h}{d t} = q_1 (t) - \frac{h (t)}{R}\]Definición de las variables de desviación: Debido a que lo realmente importante en control es conocer cuánto se ha desplazado el sistema respecto al estado estacionario se definen unas variables de desviación.
Para el ejemplo, el balance macroscópico de materia en estado estacionario es:
(3.2)#\[0 = q_{1 e} - \frac{h_e}{R}\]donde \(_e\) indica estado estacionario.
Restando ambos balances macroscópicos de materia (ecs. (3.1) y (3.2)):
(3.3)#\[A \frac{d (h (t) - h_e)}{d t} = q_1 (t) - q_{1 e} - \frac{h(t) - h_e}{R}\]Se definen las siguientes variables de desviación:
\[\begin{split}\begin{aligned} H (t) &\equiv h (t) - h_e & \\ Q_1 (t) &\equiv q_1 (t) - q_{1 e} \end{aligned}\end{split}\]Las mayúsculas indican que se tratan de variables de desviación.
Sustituyendo en la ec. (3.3) se obtiene:
(3.4)#\[A \frac{d H (t)}{d t} = Q_1 (t) - \frac{H (t)}{R}\]Esta ecuación es el modelo matemático que representa la respuesta dinámica del tanque a cambios en el caudal de entrada. Resolviendo esta ecuación diferencial se puede saber cómo varía el nivel con el tiempo según cambia el caudal de entrada.