4.2. Respuesta a una entrada en escalón

Para un escalón de altura \(A\) y un sistema de primer orden la salida \(y(s)\) es:

(4.3)\[y (s) = \frac{A}{s} \frac{K_p}{\tau_p s + 1}\]

En tiempo real, invirtiendo las transformadas de Laplace, se obtiene:

(4.4)\[y (t) = A K_p \left( 1 - \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau_p}} \right)\]

Podemos reproducir este cálculo utilizando Sympy. Como es habitual, empezamos definiendo las variables necesarias y cargando las librerías que vamos a utilizar:

using SymPy, Plots, Markdown, LaTeXStrings, Printf

# Definimos las variables de nuestro sistema
t, A, Kp = symbols("t A K_p", real=True)

# Especificamos que la constante de tiempo es siempre positiva
τp = symbols("tau_p", positive=True)
s = symbols("s");

Definición de la función de transferencia del proceso, \(G(s)\):

G = Kp/(τp*s + 1)

\[\begin{equation*}\frac{K_{p}}{s \tau_{p} + 1}\end{equation*}\]

La función de entrada es un escalón de altura \(A\), \(f(s)\):

f = A/s

\[\begin{equation*}\frac{A}{s}\end{equation*}\]

Por lo tanto, la respuesta del proceso \(y(s)\) es:

y_s = G*f

\[\begin{equation*}\frac{A K_{p}}{s \left(s \tau_{p} + 1\right)}\end{equation*}\]

Realizando la transformada inversa de Laplace de \(y(s)\) obtenemos la respuesta del proceso en tiempo real, \(y(t)\):

y = sympy.inverse_laplace_transform(y_s, s, t)

\[\begin{equation*}A K_{p} \left(e^{\frac{t}{\tau_{p}}} - 1\right) e^{- \frac{t}{\tau_{p}}} \theta\left(t\right)\end{equation*}\]

Representando la función en coordenadas adimensionales, \(\frac{y(t)}{A K_p}\) frente a \(\frac{t}{\tau_p}\), se obtiene la típica salida de un sistema de primer orden:

Fig. 4.1 Respuesta de un sistema de primer orden a una entrada en escalón de altura \(A\).

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plot(y(A=>1, Kp=>1, τp=>1), xlim=(0,5),
    ylabel=L"$\frac{y(t)}{A K_p}$", xlabel=L"$\frac{t}{\tau_p}$",
    label="", lw=2)
hline!([1], lw=2, label="")

4.2.1. Propiedades de un sistema de primer orden

Cabe destacar las siguientes características de cualquier sistema de primer orden:

4.2.1.1. Autorregulación:

El proceso alcanza un nuevo estado estacionario sin necesidad de un sistema de control.

Se puede comprobar de manera sencilla observando el gráfico anterior. Se puede comprobar que la respuesta a tiempos largos se encuentra acotada o que tiende a un valor concreto.

4.2.1.2. Velocidad de la respuesta

Para calcular la velocidad de la respuesta hay que encontrar la pendiente de la respuesta:

\[\frac{\mathrm{d}\left[ \frac{y (t)}{A K_p} \right]}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{\tau_p} e^{- \frac{t}{\tau_p}}\]

Para \(t=0\):

\[\frac{\mathrm{d}\left[ \frac{y (t)}{A K_p} \right]}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{\tau_p}\]

Cuanto mayor sea \(\tau_p\), menor será la pendiente inicial de la respuesta del sistema y mayor será el tiempo necesario en alcanzar el nuevo estado estacionario.

Evaluando al ecuación [[ec:primer orden real]](#ec:primer orden real){reference-type=”ref” reference=”ec:primer orden real”} para diferentes tiempo se obtiene la siguiente tabla:

Table 4.1 Evolución de la salida de un sistema de primer orden con el tiempo.

Tiempo transcurrido	\(1 \tau_p\)	\(2 \tau_p\)	\(3 \tau_p\)	\(4 \tau_p\)
\(y(t)\) como porcentaje de su valor estacionario	63.2	86.5	95.0	98.2

El cálculo de estos valores es muy sencillo:

# Calculamos los valores de y(t) para 0, 1, 2, 3 y 4
for τ ∈ 1:4
    # Mostramos los valores expresados como %
    output = y(A=>1, Kp=>1, τp=>1, t=>τ)*100
    @printf "%.1f" output
    println()
end

63.2
86.5
95.0
98.2

Transcurrido cuatro veces la constante de tiempo del proceso se puede asegurar que ha llegado el sistema al nuevo estado estacionario.

4.2.1.3. Nuevo estado estacionario

La salida del proceso en el nuevo estado estacionario es:

\[\lim_{t \to \infty} y (t) = A K_p\]

Podemos comprobar

limit(y, t, oo)

\[\begin{equation*}A K_{p}\end{equation*}\]

Cuanto mayor es la ganancia menor debe ser la entrada del sistema (perturbación) para producir el mismo efecto final.

Puede ocurrir que la constante \(a_0\) de la ecuación (4.1) sea nula. Este tipo de procesos se conocen como integradores puros ya que la salida es la integral de la entrada con el tiempo. Estos procesos pueden ser difíciles de controlar debido a que no presentan autorregulación. Ejemplos comunes de este tipo de sistemas son los tanques con líquidos, depósitos de gases y sistemas de almacenamiento de materias primas y productos.