Problema 3.3#

Usando la técnica de la transformada de Laplace, encontrar las respuestas transitoria y estacionaria del sistema descrito por la ecuación diferencial siguiente:

\[\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} + 3 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + 2 y = 1\]

con las condiciones iniciales \(y (0) = y' (0) = 1\).

Solución

La transformada de una derivada de una función y de la derivada segunda es:

\[\mathcal{L} \left( \frac{\mathrm{d}f (t)}{\mathrm{d}t} \right) = s f (s) - f (0)\]
\[\begin{equation} \mathcal{L} \left( \frac{\mathrm{d}^2 f (t)}{\mathrm{d}t^2} \right) = - \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f (t) \right|_{t = 0} + s^2 f (s) - f (0) s \end{equation}\]

Realizando la transformada de Laplace a la ecuación diferencial a resolver y considerando las condiciones iniciales se obtiene:

\[s^{2_{}} \bar{y} - s - 1 + 3 (s \bar{y} - 1) + 2 \bar{y} = \frac{1}{s}\]

Despejando \(\bar{y}\):

\[\bar{y} = \frac{s^2 + 4 s + 1}{s (s + 1) (s + 2)}\]

Para poder realizar la transformada inversa de Laplace y poder obtener y(t) hay que realizar primero la descomposición en fracciones simples de \(\bar{y} (s)\):

\[\frac{s^2 + 4 s + 1}{s (s + 1) (s + 2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 1} + \frac{C}{s + 2}\]

Sumando las fracciones simples y simplificando el denominador se obtiene la siguiente ecuación:

\[s^2 + 4 s + 1 = A (s + 1) (s + 2) + Bs (s + 2) + Cs (s + 1)\]

Operando se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente:

\[\begin{split}\left\{\begin{array}{l} (1) s^2 = (A + B + C) s^2\\ (4) s = (3 A + 3 B + C) s\\ 1 = 2 A \end{array}\right.\end{split}\]

La solución de este sistema es \(A = \frac{1}{2}\), \(B = 2\) y \(C = - \frac{3}{2}\). Por tanto,

\[\bar{y} = \frac{\frac{1}{2}}{s} + \frac{2}{s + 1} - \frac{\frac{3}{2}}{s + 2}\]

Realizando la transformada inversa de Laplace, consultando las tablas, se obtiene:

\[y (t) = \frac{1}{2} U (t) + 2 \mathrm{e}^{- t} - \frac{3}{2} \mathrm{e}^{- 2 t}\]

donde \(U (t)\) es el escalón unidad.

La parte estacionaria de \(y (t)\) es \(\frac{1}{2} U (t)\) ya que:

\[\lim_{t \rightarrow \infty} y (t) = \frac{1}{2}\]

El resto de la solución es la respuesta transitoria, es decir, la parte de la solución dependiente del tiempo.

Resolución con Sympy

En primer lugar, cargaremos la librería y definiremos las variables \(s\) y \(t\). Como es habitual, especificaremos que el tiempo es una variable real. Además, definiremos \(y\) como una función, ya que \(y(t)\) será nuestra función incógnita:

using SymPy
#init_printing()

t = symbols("t", real=True)
s = symbols("s")

y = SymFunction("y")
\[\begin{align*}y\end{align*}\]

El siguiente paso es definir las condiciones iniciales, \(y(0) = 1\) y \(\frac{\mathrm{d} y(0)}{\mathrm{d} t} = 1\). Observad la sintaxis:

# ic = {y(0):1, diff(y(t), t).subs(t, 0):1}
ic = ((y, 0, 1), (y', 0, 1))

ic

((y, 0, 1), (y', 0, 1))

Para reducir errores es conveniente definir la ecuación diferencial y la llamaremos deq. Para definir una ecuación en Sympy se utiliza la función Eq(lhs, rhs) donde lhs indica la parte derecha de la igualdad y rhsla parte derecha:

deq = Eq(y''(t) + 3y'(t) +2y(t), 1)

deq
\[\begin{equation*}2 y{\left(t \right)} + 3 \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = 1\end{equation*}\]

Ya estamos en condiciones de resolver la ecuación diferencial mediante la instrucción dsolve(), que utiliza internamente la transformada inversa de Laplace. La solución de la ecuación la guardamos en la variable sol :

sol = dsolve(deq, y(t), ics=ic)
sol
\[\begin{equation*}y{\left(t \right)} = \frac{1}{2} + 2 e^{- t} - \frac{3 e^{- 2 t}}{2}\end{equation*}\]

El resultado es una igualdad, en el caso de que nos interese la parte derecha:

sol.rhs
\[\begin{equation*}\frac{1}{2} + 2 e^{- t} - \frac{3 e^{- 2 t}}{2}\end{equation*}\]

Si es la parte izquierda:

sol.lhs
\[\begin{equation*}y{\left(t \right)}\end{equation*}\]

Para encontar la respuesta estacionaria hay que calcular el límite cuando el tiempo tiende a infinito, ya que entonces habrá desaparecido la influencia de la respuesta transitoria:

limit(sol.rhs, t, oo)
\[\begin{equation*}\frac{1}{2}\end{equation*}\]