Problema 7.4

Sea el sencillo lazo de control de la figura:

donde \(G_p = \frac{k}{s(s+p)}\).

Determinar la ganancia k y el parámetro p para que la dinámica del sistema responda a las siguientes características:

1. Para un cambio en escalón el overshoot debe ser inferior al 5%.

2. El periodo de oscilación de 4 s.

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Solución

La función de transferencia del lazo de control es:

\[G (s) = \frac{\bar{Y} (s)}{\bar{R} (s)} = \frac{G_p (s)}{1 + G_p (s)} = \frac{1}{\frac{1}{k} s^2 + \frac{p}{k} s + 1}\]

La función de transferencia de un sistema de segundo orden es:

\[G (s) = \frac{K_p}{\tau_p^2 s^2 + 2 \tau_p \zeta s + 1}\]

Por tanto:

\[\begin{split}\begin{aligned} \tau_p^2 &= \frac{1}{k}\\ 2 \tau_p \zeta &= \frac{p}{k} \end{aligned}\end{split}\]

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:

\[\begin{split}\begin{aligned} \tau_p &= \sqrt{\frac{1}{k}} \\ \zeta &= \frac{p}{2 \sqrt[]{k}} \end{aligned}\end{split}\]

El overshoot de este sistema de ser inferior al 5%, por tanto, el caso límite es que el overshoot tome el valor de 0.05:

\[0.05 = \exp \left( - \frac{\pi \zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}} \right)\]

Resolviendo la ecuación se encuentra que el coeficiente de amortiguamiento es \(\zeta = 0.6901\).

El periodo del lazo de control debe ser de 4 s, lo que implica que:

\[T = 4 \text{s} = \frac{2 \pi \tau_p}{\sqrt{1 - \zeta^2}}\]

Sustituyendo el coeficiente de amortiguamiento se encuentra que la constante de tiempo es \(\tau_p = 0.4607\).

Una vez conocidos el coeficiente de amortiguamiento y la constante de tiempo encontrar los parámetros del proceso es trivial:

\[\begin{split}\begin{aligned} k &= 4.71 \\ p &= 3.00 \end{aligned}\end{split}\]