Problema 3.4

La respuesta a un escalón unidad de un sistema viene dada por:

\[y (t) = 1 - \frac{7}{3} \mathrm{e}^{- t} + \frac{3}{2} \mathrm{e}^{- 2 t} - \frac{1}{6} \mathrm{e}^{- 4 t}\]

1. ¿Cuál es la función de transferencia de dicho sistema?

2. ¿Cuál sería la respuesta en tiempo real si la entrada fuera un impulso unidad?

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Solución

a) Debemos encontrar aquella función de transferencia G(s) que para una entrada de tipo escalón unidad (\(x (s) = \frac{1}{s}\)) produzca una respuesta como la del enunciado del problema. La transformada de Laplace de y(t) es y(s):

Por tanto la función de transferencia buscada será:

\[G (s) = \frac{y (s)}{x (s)}\]

Para poder encontrar la función de transferencia hay que hacer la transformada de Laplace a la función y(t):

\[y (s) =\mathcal{L} [y (t)] = \frac{1}{s} - \frac{\frac{7}{3}}{s + 1} + \frac{\frac{3}{2}}{s + 2} - \frac{\frac{1}{6}}{s + 4} = \frac{s + 8}{s (s + 1) (s + 2) (s + 4)}\]

Por tanto,

\[G (s) = \frac{s + 8}{(s + 1) (s + 2) (s + 4)}\]

b) La función impulso es la derivada de la función escalón. Por tanto, la respuesta en tiempo real a una entrada en impulso no será más que derivar y(t) respecto al tiempo:

\[[y (t)]_{\mathrm{impulso}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} [y (t)]_{\mathrm{escalón}} = \frac{7}{3} \mathrm{e}^{- t} - 3 \mathrm{e}^{- 2 t} + \frac{2}{3} \mathrm{e}^{- 4 t}\]