Problema 8.16#
Considerar la función de lazo abierto siguiente:
Estudiar mediante los diagramas de Bode la influencia del retraso o del tiempo muerto \(t_d\) y de la ganancia \(K_c\) en la estabilidad del correspondiente lazo cerrado. Como ejemplo, considerar los casos en los que el retraso vale 0.01, 0.1 y 1 min.
Solución
En primer lugar cargamos las bibliotecas necesarias y definimos las variables que utilizaremos para resolver el problema, \(K_c\) y \(t_d\):
include("../clasecontrol.jl")
@vars td Kc positive=true
(td, Kc)
El siguiente paso es definir la función de lazo abierto, \(G_{OL}\):
Gol = Kc/(0.5*s+1)*exp(-td*s)
Para comprobar el efecto del retraso sobre la ganancia del controlador, calcularemos la ganancia última, \(K_u\), para los tres valores de retraso propuestos en el enunciado del problema.
\(t_d = 0.01\)
Dibujamos el diagrama de Bode y encontramos \(M = \frac{RA}{K_c(\omega_{co})}\), lo que significa que la ganancia última es:
\[K_u = \frac{1}{M}\]
sol1 = bode(Gol(td=>0.01)/Kc; wmax=300, co= true, RAlabel="RA/Kc")
sol1.fig
# Ganancia última
round(1/sol1.RAco, sigdigits=3)
79.2
\(t_d = 0.1\)
sol2 = bode(Gol(td=>0.1)/Kc; wmin=1, wmax=100, co=true)
sol2.fig
round(1/sol2.RAco, sigdigits=3)
8.5
\(t_d = 1\)
sol3 = bode(Gol(td=>1)/Kc; wmin=1, wmax=10, co=true, RAlabel="RA/Kc")
sol3.fig
round(1/sol3.RAco, sigdigits=3)
1.52
Se comprueba comprueba el efecto negativo del retraso sobre la estabilidad del lazo de control. Cuanto mayor es el retrasos, menor debe ser la ganancia proporcional última:
td |
Kc |
|---|---|
0.01 |
79.2 |
0.1 |
8.50 |
1 |
1.52 |