Problema 8.7#

En la figura se representa el diagrama de bloques de un sistema de control de velocidad de un motor de gasolina:

Lazo de control

donde:

\[\begin{split}\begin{align} G_c &= \frac{1}{\tau_Is+1}\\ G_e &= \frac{K}{\tau_es+1}\\ G_m &= \frac{1}{\tau_ms+1} \end{align}\end{split}\]

\(\tau_i\) es la constante de tiempo del carburador, igual a 1; \(\tau_e\) es la del motor, igual a 4 segundos; y \(\tau_m\) es la del medidor de velocidad, igual a 0.5 s. Determinar:

  1. El valor de la ganancia \(K\) del motor para que, ante una variación \(M\) en la consigna, la velocidad obtenida no difiera respecto a la consigna en más de un 7 % de dicha variación \(M\).

  2. La estabilidad del sistema.

  3. El margen de la ganancia \(K\) determinada en el primer apartado.

Solución

a) En este apartado se propone un cambio en la consigna consistente en un escalón de altura M:

\[R (s) = \frac{M}{s}\]

La función de transferencia que describe la dinámica de este lazo de control para un cambio en la consigna es:

\[G (s) = \frac{C (s)}{R (s)} = \frac{\frac{1}{s + 1} \frac{K}{4s + 1}}{1 + \frac{1}{s + 1} \frac{K}{4 s + 1} \frac{1}{0.5 s + 1}} = \frac{Ks + 2 K}{4 s^3 + 13 s^2 + 11 s + 2 K + 2}\]

La velocidad estacionaria obtenida será:

\[\lim_{s \to 0} [s G (s) R (s)] = \lim_{s \to 0} \left[ s \frac{Ks + 2 K}{4 s^3 + 13 s^2 + 11 s + 2 K + 2} \frac{M}{s} \right] = \frac{KM}{K + 1}\]

Se desea que la diferencia entre la velocidad obtenida y la deseada no difiera en más de un 7% de \(M\). En este caso se considerará el caso límite de que la diferencia sea de un 7% de \(M\). Por tanto:

\[\frac{KM}{K + 1} = (1 - 0.07) M\]

Es decir,

\[K = 13.28\]

b) Para determinar la estabilidad del sistema se puede recurrir al método de Routh-Hurvitz ya que el sistema es lineal. La ecuación característica de este lazo de control se puede obtener a partir del denominador de la ec. (8.1) y es:

\[4 s^3 + 13 s^2 + 11 s + 2 K + 2 = 0\]

También se puede obtener la ecuación característica a partir de:

\[1 + G_{\mathrm{OL}} = 1 + \frac{1}{s + 1} \frac{K}{4 s + 1} \frac{1}{0.5 s + 1} = 0\]

Una vez encontrada la ecuación característica hay que construir la matriz de Routh-Hurvitz:

\[\begin{split}\left(\begin{array}{cc} 4 & 11\\ 13 & 2 K + 2\\ \frac{13 \cdot 11 - 4 (2 K + 2)}{13} = - \frac{8 K - 135}{11} & \end{array}\right)\end{split}\]

Por tanto, el lazo de control será estable si:

\[- \frac{8 K - 135}{11} \geqslant 0\]

Resolviendo la inecuación se encuentra que el lazo de control será estable si:

\[K \leqslant \frac{135}{8} = 16.875\]

c) La ganancia límite \(K_u\) para la que el lazo de control todavía es estable es:

\[K_u = 16.875\]

Por tanto, el margen de la ganancia \(K\) será:

\[\mathrm{MG} = \frac{K_u}{K} = \frac{16.875}{13.28} = 1.271\]

Lo que significa que la ganancia \(K\) puede aumentar hasta un 27.1% y el lazo de control continuará siendo estable.