3.2. La transformada de Laplace como herramienta útil#
La transformada de Laplace \(\bar{f} (s)\) de una función \(f (t)\) se define como:
donde \(t \in \mathbb{R}\) y \(s \in \mathbb{C}\).
El uso de transformadas de Laplace ofrece un método simple y elegante de resolver ecuaciones diferenciales como las que se obtienen en los modelos matemáticos de los procesos alimentarios.
Entre las diferentes propiedades de las transformadas de Laplace cabe destacar:
Es un operador lineal:
\[\mathcal{L} [a_1 f_1 (t) + a_2 f_2 (t)] = a_1 \mathcal{L} [f_1 (t)] + a_2 \mathcal{L} [f_2 (t)]\]La transformada de una derivada es:
\[\mathcal{L} \left[ \frac{d f (t)}{d t} \right] = s \bar{f} (s) - f (0)\]Es importante resaltar que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden pasa a ser una ecuación lineal de primer grado.
La transformada de la segunda derivada es:
\[\mathcal{L} \left[ \frac{d^2 f (t)}{d t^2} \right] = s^2 \bar{f} (s) - s f (0) - f' (0)\]Generalizando:
\[\mathcal{L} \left[ \frac{d^{(n)} f (t)}{d t^n} \right] = s^n \bar{f} (s) - s^{n - 1} f (0) - s^{n - 2} f' (0) - \ldots - s f^{(n - 2)} (0) - f^{(n - 1)} (0)\]Esta propiedad permite resolver de manera sencilla ecuaciones diferenciales ya que las convierte en ecuaciones algebraicas. El Problema 2.3 muestra cómo se puede utilizar la transformada de Laplace para resolver una ecuación diferencial.
La transformada de Laplace de una integral es:
\[\mathcal{L} \left[ \int_0^t f (t) d t \right] = \frac{1}{s} \bar{f} (s)\]Translación de la transformada:
\[\mathcal{L} [e^{- \alpha t} f (t)] = \bar{f} (\alpha + s)\]Translación de la función:
(3.5)#\[\mathcal{L} [f (t - t_0) U(t-t_0)] = e^{- t_0 s} \bar{f}(s)\]Teorema del valor final:
(3.6)#\[\mathcal{L} \left[ \underset{t \rightarrow \infty}{\lim} f (t) \right] = \underset{s \rightarrow 0}{\lim} [s \bar{f}(s)]\]
Ejemplo
La aplicación de la transformada de Laplace a una función es sencilla disponiendo de las tablas de transformadas de Laplace y del conocimiento de las propiedades anteriores. En el Problema 3.1 se muestra cómo se aplica.