Problema 3.5#

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

  1. \(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} + 4 y = 3\) con \(y (0) = y' (0) = 1\)

  2. \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} + 2 y = 5 \sin (3 t)\) con \(y (0) = 1\)

Solución

a) Para resolver la ecuación diferencial, en primer lugar se realizará la transformada de Laplace:

\[\begin{split}\begin{aligned} & \mathcal{L} \left[ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2} + 4 y \right] =\mathcal{L} [3] & \\ & s^2 \bar{y} - s - 1 + 4 \bar{y} = \frac{3}{s} & \end{aligned}\end{split}\]

A continuación se despeja \(\bar{y}\):

\[\bar{y} = \frac{s}{s^2 + 4} + \frac{1}{s^2 + 4} + \frac{3}{s (s^2 + 4)}\]

Para obtener la respuesta en tiempo real hay que realizar la transformada inversa. La trasnformada inversa de los dos primeros sumandos es directa a partir de la tabla de transformadas de Laplace. La transformada inversa del tercer de los sumandos no es directa, por lo que es necesario descomponerlo en fracciones simples:

\[\frac{3}{s (s^2 + 4)} = \frac{As}{s^2 + 4} + \frac{B}{s} = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{s} - \frac{s}{s^2 + 4} \right)\]

donde:

\[\begin{split}\begin{aligned} & 3 = As^2 + B (s^2 + 4) & \\ & \left\{\begin{array}{l} 0 = A + B\\ 3 = 4 B \end{array}\right. & \end{aligned}\end{split}\]

La realización de las transformadas de Laplace es ahora directa. La solución a la ecuación diferencial es:

\[y (t) = \cos (2 t) + \frac{1}{2} \sin (2 t) + \frac{3}{4} (1 - \cos (2 t))\]

También se puede resolver la ecuación utilizando Sympy. A continuación se muestra la serie de instrucciones necesarias para introducir las condiciones iniciales y la ecuación:

using SymPy

s = symbols("s")
t = symbols("t", real=True)

y = SymFunction("y")

# Condiciones iniciales
ic = ((y', 0, 1), (y, 0, 1))

# Ecuación diferencial
deq = Eq(y''(t) + 4*y(t), 3)

# Resolución de la ecuación diferencial
dsolve(deq, y(t), ics=ic)
\[\begin{equation*}y{\left(t \right)} = \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{4} + \frac{3}{4}\end{equation*}\]

b) La resolución de la ecuación se puede realizar aplicando la transformada de Laplace o directamente utilizando Sympy:

# Condiciones iniciales
ic2 = (y, 0, 1)
ic2

(y, 0, 1)

# Ecuación diferencial
deq2 = Eq(y'(t) + 2*y(t), 5*sin(3*t))
deq2
\[\begin{equation*}2 y{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = 5 \sin{\left(3 t \right)}\end{equation*}\]
dsolve(deq2, y(t), ics=ic2)
\[\begin{equation*}y{\left(t \right)} = \left(\frac{10 e^{2 t} \sin{\left(3 t \right)}}{13} - \frac{15 e^{2 t} \cos{\left(3 t \right)}}{13} + \frac{28}{13}\right) e^{- 2 t}\end{equation*}\]