Problema 3.1#

Hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

  1. \(f (t) = \mathrm{e}^{- 2 t} \cos (t)\)

  2. \(f (t) = \mathrm{e}^{- 4 t} + \theta(t-2) \sin (t - 2) + t^2 \mathrm{e}^{- 2 t}\)

  3. \(f (t) = 2 \mathrm{e}^{- t} \cos (10 t) - t^4 + 6 \mathrm{e}^{- (t - 10)} \theta(t-10)\)

Solución

a) Aplicando la propiedad 4. Traslación de la transformada:

\[\mathcal{L} (\mathrm{e}^{- 2 t} \cos t) = \frac{s + 2}{s^2 + 4 s + 5}\]

También se puede realizar la transformada de Laplace utilizando Sympy. En primer lugar cargamos la librería:

using SymPy

A continuación definimos las variables \(s\) y \(t\). Las definimos por separado para indicar que \(t\) es una variable real, mientras que \(s\) es una variable compleja:

s = symbols("s")
t = symbols("t", real=True)
\[\begin{equation*}t\end{equation*}\]

Finalmente calculamos la transformada de Laplace:

sympy.laplace_transform(exp(-2*t)*cos(t), t, s)

((s + 2)/((s + 2)^2 + 1), -2, True)

Sympy ofrece más información de la que necesitamos, ya que solo necesitamos la función transformada. Podemos obtenerla añadiendo el parámetro noconds:

sympy.laplace_transform(exp(-2*t)*cos(t), t, s, noconds=True)
\[\begin{equation*}\frac{s + 2}{\left(s + 2\right)^{2} + 1}\end{equation*}\]

Puede ser conveniente definir un función para simplificar la realización de la transformada de Laplace, ya que siempre vamos a utilizar las variables \(s\) y \(t\):

L(f) = sympy.laplace_transform(f, t, s, noconds=True)

L(exp(-2*t)*cos(t))
\[\begin{equation*}\frac{s + 2}{\left(s + 2\right)^{2} + 1}\end{equation*}\]

b) El operador transformada de Laplace es lineal:

\[\mathcal{L} (\mathrm{e}^{- 4 t} + \sin (t - 2) + t^2 \mathrm{e}^{- 2 t}) =\mathcal{L} (\mathrm{e}^{- 4 t}) +\mathcal{L} (\sin (t - 2)) +\mathcal{L} (t^2 \mathrm{e}^{- 2 t})\]

La transformada de Laplace del primer sumando es directa a partir de las tablas:

\[\mathcal{L} [\mathrm{e}^{- 4 t}] = \frac{1}{s + 4}\]

Para calcular el segundo de los sumandos es necesario aplicar, de nuevo, la propiedad 4.:

\[\mathcal{L} [\sin (t - 2)] = \mathrm{e}^{- 2 s} \mathcal{L} [\sin (t)] = \mathrm{e}^{- 2 s} \frac{1}{s^2 + 1}\]

Por último, el tercer sumando se obtiene de la consulta de las tablas:

\[\mathcal{L} [t^2 \mathrm{e}^{- 2 t}] = \frac{2!}{(s + 2)^{2 + 1}} = \frac{2}{(s + 2)^3}\]

Por tanto,

\[\bar{f} (s) = \frac{1}{s + 4} + \mathrm{e}^{- 2 s} \frac{1}{s^2 + 1} + \frac{2}{(s + 2)^3}\]

Con Sympy obtenemos el mismo resultado:

L(exp(-4*t) + sin(t-2)*Heaviside(t-2) + t^2*exp(-2*t))
\[\begin{equation*}\mathcal{L}_{t}\left[\sin{\left(t - 2 \right)} \theta\left(t - 2\right)\right]\left(s\right) + \frac{1}{s + 4} + \frac{2}{\left(s + 2\right)^{3}}\end{equation*}\]

Nos encontramos que hemos logrado resolver 2/3 del problema, pero hay una parte que Sympy es incapaz de resolver, por lo que tenemos que ayudarle. Esta es una valiosa lección, ¡los ordenadores y los programas de cálculo simbólico no sustituyen el saber matemáticas!

Para realizar la transformada de Laplace de la parte que falta, \(\sin(t-2) \theta(t-2)\), debemos recordar que la transformada de Laplace no es más que una integral, por lo que podremos utilizar las técnicas que conocemos de integración. Lo que vamos es a realizar un cambio de variable:

\[u = t-2\]

Por lo tanto:

\[du = dt\]

Sustituyendo y aplicando la definición de la transformada de Laplace:

\[L\left(\sin(t-2) \theta(t-2)\right)= \int_0^\infty\sin(t-2) \theta(t-2) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{d}t = \int_0^\infty\sin(u) \theta(u) \mathrm{e}^{-s (u+2)} \mathrm{d}u\]

Podemos calcular esta integral directamente:

u = symbols("u", real=True)
integrate(sin(u)*Heaviside(u)*exp(-s*(u+2)),(u, 0, oo))
\[\begin{split}\begin{equation*}\begin{cases} \frac{e^{- 2 s}}{s^{2} + 1} & \text{for}\: 2 \left|{\arg{\left(s \right)}}\right| < \pi \\\int\limits_{0}^{\infty} e^{- s \left(u + 2\right)} \sin{\left(u \right)} \theta\left(u\right)\, du & \text{otherwise} \end{cases}\end{equation*}\end{split}\]

c) De nuevo, aplicando la linealidad del operador transformada:

\[\begin{split}\begin{aligned} & \mathcal{L} [2 \mathrm{e}^{- t} \cos (10 t)] = 2 \frac{s + 1}{(s + 1)^2 + 10^2} & \\ & \mathcal{L} [t^4] = \frac{4!}{s^5} = \frac{24}{s^5} & \\ & \mathcal{L} [6 \mathrm{e}^{- (t - 10)}] = 6 \mathrm{e}^{- 10 s} \frac{1}{s + 1} & \end{aligned}\end{split}\]

Por tanto,

\[\bar{f} (s) = 2 \frac{s + 1}{(s + 1)^2 + 10^2} - \frac{24}{s^5} + 6 \mathrm{e}^{- 10 s} \frac{1}{s + 1}\]

Utilizando Sympy:

L(2*exp(-t)*cos(10*t)) - L(t^4) + L(6*exp(t-10)*Heaviside(t-10))
\[\begin{equation*}\frac{2 \left(s + 1\right)}{\left(s + 1\right)^{2} + 100} + \frac{6 e^{- 10 s}}{s - 1} - \frac{24}{s^{5}}\end{equation*}\]