Problema 7.7

Sea el sistema cuyo diagrama de bloques se presenta en la figura adjunta:

donde \(G(s) = \frac{K}{s(s+1)}\) y \(H(s)=1+K_ms\).

Determinar los valores de ganancia \(K\) y de la constante \(K_m\) para que la respuesta a un escalón unidad tenga un overshoot de 0.2 al cabo de 1 s.

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Solución

La función de transferencia que describe la dinámica de este sistema es:

\[\frac{Y (s)}{R (s)} = \frac{G (s)}{1 + G (s) H (s)} = \frac{\frac{K}{s (s + 1)}}{1 + \frac{K}{s (s + 1)} (1 + K_m s)} = \frac{1}{\frac{1}{K} s^2 + \frac{1 + K K_m}{K} s + 1}\]

El overshoot de este sistema debe valer 0.2, por lo tanto:

\[\mathrm{Overshoot} = 0.2 = \exp \left( \frac{- \pi \zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}} \right) = \frac{A}{B}\]

Resolviendo la ecuación se encuentra que el coeficiente de amortiguamiento es:

\[\zeta = 0.4559\]

El valor máximo de un sistema de segundo orden subamortiguado para una entrada en escalón unidad \(\left( R (s) = \frac{1}{s} \right)\) es:

\[Y_{\max} = A + B\]

donde \(B\) es el valor estacionario de la respuesta. En este caso:

\[B = \lim_{t \to \infty} Y (t) = \lim_{s \to 0} s \frac{Y (s)}{R (s)} \frac{1}{s} = 1\]

Por tanto, \(A = 0.2\) y \(Y_{\max} = 1.2\).

La respuesta de un sistema de segundo orden subamortiguado para una entrada en escalón es:

\[\frac{y (t)}{k M} = 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - \zeta^2}} e^{- \frac{\zeta t}{\tau}} \sin \left( \sqrt{1 - \zeta^2} \frac{t}{\tau} - \mathrm{atan} \frac{\sqrt{1 - \zeta^2}}{\zeta} \right)\]

donde \(k\) es la ganancia global del proceso, es este caso 1. \(M\) es la altura del escalón (\(M = 1\)). La respuesta máxima se tiene que producir cuando \(t = 1 s\). Sustituyendo:

\[Y_{\max} (t = 1 s) = 1.2 = 1 - \frac{1}{0.89} e^{- \frac{0.4559}{\tau}} \sin \left( \frac{0.89}{\tau} + 1.0974 \right)\]

Resolviendo la ecuación se obtiene:

\[\tau = 0.285\]

A partir de la función de transferencia del sistema (de segundo orden) se encuentra:

\[\begin{split}\begin{aligned} \tau &= \sqrt{\frac{1}{K}}\\ 2 \zeta \tau &= \frac{1 + K K_m}{K} \end{aligned}\end{split}\]

Sustituyendo y operando se encuentra:

\[\begin{split}\begin{aligned} K &= 12.31 \\ K_m &= 0.179 \end{aligned}\end{split}\]