Problema 4.03

Sea un sistema de primer orden de ganancia unidad y constante de tiempo 0.5. Inicialmente el sistema está en estado estacionario. Se introduce una entrada en rampa unidad cuando el tiempo es igual a 0.

1. Desarrollar una expresión que muestre los cambios en el proceso con el tiempo

2. Cuál es la mínima y la máxima diferencia entre la salida y la entrada?

3. Dibujar la entrada y la salida en función del tiempo

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Solución

a) Hay varias estrategias para desarrollar una expresión que muestre los cambios en el proceso tras una rampa unidad (\(y (t)\)). Se puede resolver directamente la ecuación diferencial o se puede utilizar la función de transferencia y realizar la transformada inversa de Laplace.

Resolución de la ecuación diferencial

Un sistema de primer orden viene descrito por la siguiente ecuación diferencial (ec. (4.2) de la teoría):

\[\tau_p \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} + y = K_p f(t)\]

donde \(f (t)\) es la entrada al sistema, en nuestro caso una rampa unidad (\(f(t) = t\)). Sustituyendo las constantes y la función de entrada, se obtiene la ecuación diferencial a resolver:

\[0.5 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} + y = t\]

Se puede resolver la ecuación diferencial utilizando Sympy:

using SymPy

t = symbols("t", real=true)
y = SymFunction("y")

eq = Eq(1//2*y'(t)+ y(t), t)

\[\begin{equation*}y{\left(t \right)} + \frac{\frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{2} = t\end{equation*}\]

Se ha supuesto que se están utilizando variables de desviación, lo que supone que \(y (t = 0) = 0\):

ics = (y, 0, 0)

(y, 0, 0)

Resolviendo la ecuación diferencial, se obtiene:

expand(dsolve(eq, ics=ics))

\[\begin{equation*}y{\left(t \right)} = t - \frac{1}{2} + \frac{e^{- 2 t}}{2}\end{equation*}\]

Función de transferencia

La función de transferencia de este proceso es:

\[G = \frac{y (s)}{f (s)} = \frac{1}{0.5 s + 1}\]

y la entrada es una rampa unidad, cuya transformada de Laplace es:

\[f(s) = \frac{1}{s^2}\]

Por tanto la respuesta del proceso es:

\[y(s) = G f(s) = \frac{1}{0.5 s + 1} \frac{1}{s^2}\]

Para obtener la respuesta dependiente del tiempo hay que realizar la transformada inversa de Laplace:

\[y (t) =\mathcal{L}^{- 1} \left( \frac{1}{0.5 s + 1} \frac{1}{s^2} \right)\]

Para realizar la transformada inversa se puede utilizar la técnica de separar en fracciones simples o simplemente utilizar Sympy:

s = symbols("s")

y_t = sympy.inverse_laplace_transform(1/(1//2*s+1)*1/s^2, s, t)

\[\begin{equation*}t \theta\left(t\right) - \frac{\theta\left(t\right)}{2} + \frac{e^{- 2 t} \theta\left(t\right)}{2}\end{equation*}\]

Lógicamente la respuesta obtenida es igual a la obtenida por el método anterior.

b) La diferencia entre la entrada y la salida es:

\[y (t) - f (t) = \frac{e^{- 2 t}}{2} - \frac{1}{2}\]

La función exponencial es continua y decreciente, si se trata de exponentes negativos, para valores de \(t\) mayores que cero, como es el caso. Cuanto \(t = 0\), \(e^{- 2 t} = 1\). Si el tiempo tiende a infinito, \(e^{- 2 t} \underset{t \rightarrow \infty}{\rightarrow} 0\). Por tanto, la diferencia mínima se dará cuando el tiempo es igual a cero, en ese caso la diferencia es de 0. La diferencia máxima se produce cuando el tiempo tiende a infinito, la diferencia es \(y (t) - f (t) \underset{t \rightarrow \infty}{\rightarrow} - \frac{1}{2}\).

c) El gráfico de la entrada y la salida en función del tiempo es:

Esta gráfica se ha dibujado a partir de la función respuesta obtenida en el apartado a). En caso de no querer obtener esa función se puede programar el problema con VisSim y obtener el resultado mediante métodos numéricos.

A continuación se muestra el programa junto con el resultado obtenido:

using Plots, LaTeXStrings

plot(y_t, 0, 3, lw=2, label=L"y(t)", xlabel=L"t", legend=:topleft)
plot!(t, 0, 3, label=L"t", lw=2)