Problema 6.2

Determinar la ganancia y la banda proporcional de u controlador neumático proporcional de acción directa con una escala de 0-120 ℃, si la variación en la salida pasa de 20 a 100 kPa cuando la temperatura aumenta desde 95 a ℃. Si se cambia la banda proporcional a 50 %, determinar la ganancia y la variación de temperatura requerida para un cambio total en la salida.

---

Solución

Un posible diagrama del sistema de control propuesto es el siguiente:

La temperatura del tanque \(T (t)\) la mide un sensor de temperatura. La respuesta de este medidor es \(T_m (t)\), esta variable se alimenta al controlador que la compara con el valor de consigna \(T_{sp} (t)\). La acción de control \(c (t)\) se envía a la válvula neumática que modifica el caudal de agua caliente \(Q (t)\). Al varial el caudal de agua caliente varía la temperatura del tanque. Si el sistema de control funciona correctamente la diferencia entre esta temperatura y la consigna debe ser cada vez menor, si no se producen cambios o perturbaciones.

Se puede plantear un diagrama de bloques que representa la instalación anterior:

Show code cell source Hide code cell source

using PyCall, LaTeXStrings

schemdraw = pyimport("schemdraw")
dsp = pyimport("schemdraw.dsp")
#elm = pyimport("schemdraw.elements")
#lines = pyimport("schemdraw.elements.lines")

d = schemdraw.Drawing(unit=1, fontsize=10)
d.add(dsp.Arrow().right().label(L"T_{sp}(t)", "left"))
suma = d.add(dsp.Mixer(W="+", S="-").anchor("W"))
d.add(dsp.Arrow().label(L"\epsilon(t)", "top").right())
control = d.add(dsp.Box(h=1, w=2.25).label("Controlador").anchor("W"))
d.add(dsp.Arrow().label(L"c(t)", "top").right().at(control.E))
valvula = d.add(dsp.Box(h=1, w=2.25).label("Válvula").anchor("W"))
d.add(dsp.Arrow().label(L"Q(t)", "top").right().at(valvula.E))
proceso = d.add(dsp.Box(h=1, w=2.25).label("Proceso").anchor("W"))
d.add(dsp.Line().right().at(proceso.E))
dot = d.add(dsp.Dot(radius=0))
d.push()
d.add(dsp.Arrow().right().at(dot.center).label(L"T(t)", "right"))
d.pop()
d.add(dsp.Line().down().at(dot.center).length(2))
d.add(dsp.Arrow().left().length(4.25))
medidor = d.add(dsp.Box(h=1, w=2.25).label("Medidor").anchor("E"))
d.add(dsp.Line().label(L"T_m(t)", "top").left().at(medidor.W).tox(suma.S))
d.add(dsp.Arrow().up().to(suma.S))

d.draw(show=false)

El controlador es proporcional, lo que significa que:

\[\begin{split}\begin{aligned} \text{Error: } & \varepsilon (t) = T_{sp} (t) - T_m (t) & \\ \text{Acción de control: } & c (t) = K_c \varepsilon (t) & \end{aligned}\end{split}\]

donde \(K_c\) es la ganancia del controlador. La ganancia del controlador será, por tanto, la pendiente de la recta siguiente:

Show code cell source Hide code cell source

using Plots

plot([95, 100], [20, 110], xlim=[95,100],
    xlabel=L"T\ \mathrm{(}\degree \mathrm{C)}", ylabel=L"P\ \mathrm{(kPa)}",
    legend=false)

Lo que supone:

\[K_c = \frac{P_{\max} - P_{\min}}{T_{\max} - T_{\min}} = \frac{100 \ \mathrm{kPa} - 20\ \mathrm{kPa}}{110\text{ ºC} - 95\text{ ºC}} = 5.33\ \mathrm{kPa} /℃\]

La banda proporcional (BP) es el porcentaje de uso del controlador. En este caso, aunque el controlador tiene capacidad de controlar temperaturas entre 0 y 120 ℃ se utiliza para controlar temperaturas entre 95 y 110 ℃. Eso supone que:

\[\mathrm{BP} = 100 \frac{110\text{ ºC} - 95\text{ ºC}}{120\text{ ºC} - 0\text{ ºC}} = 12.5\%\]

Si la banda proporcional es de 50%, el incremento de temperaturas controlado será:

\[\Delta T = \frac{\mathrm{BP}\ 120\text{ ºC}}{100} = 60℃\]

Por tanto la ganancia del controlador será:

\[K_c = \frac{100\ \mathrm{kPa} - 20\ \mathrm{kPa}}{60\text{ ºC}} = 0.133 \mathrm{kPa} /℃\]