4.3. Respuesta a una función impulso#
Al introducir un impulso de área \(A\) se obtiene la siguiente respuesta:
\[y (s) = \frac{K_p}{\tau_p s + 1} A\]
que en tiempo real es:
\[y (t) = \frac{K_p A}{\tau_p} \mathrm{e}^{- \frac{t}{\tau_p}}\]
Como en el caso de una entrada en escalón, podemos reproducir con Sympy el cálculo de la respuesta de un proceso de primer orden a una entrada en escalón:
using SymPy, Plots, LaTeXStrings
t, Kp, A = symbols("t K_p A", real=True)
τp = symbols("tau_p", positive=True)
s = symbols("s")
f = A
G = Kp/(τp*s + 1)
y = sympy.inverse_laplace_transform(G*f, s, t)
y
\[\begin{equation*}\frac{A K_{p} e^{- \frac{t}{\tau_{p}}} \theta\left(t\right)}{\tau_{p}}\end{equation*}\]
De forma adimensional se puede escribir:
\[\frac{y (t)}{K_p A} = \mathrm{e}^{- \frac{t}{\tau_p}}\]
Fig. 4.2 Respuesta de un sistema de primer orden a una entrada impulso unidad.#
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plot(y(A=>1, Kp=>1, τp=>1), xlimit = (-1, 5), lw = 2,
label = "", xlabel = L"\frac{t}{\tau_p}",
ylabel = L"\frac{y(t)}{K_p}")
Se obtiene la función simétrica a la respuesta a una entrada en escalón, lo que implica que tiene las mismas características.
Fig. 4.3 En la figura se muestra la respuesta de un sistema de primer orden a una entrada en escalón unidad y a un impulso unidad.#
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y_imp = subs(sympy.inverse_laplace_transform(G*f, s, t), A => 1, Kp => 1, τp => 1)
y_esc = subs(sympy.inverse_laplace_transform(G*A/s, s, t), A => 1, Kp => 1, τp => 1)
plot(y_imp, -1, 5, lw = 2, label="Impulso", legend=:bottomright,
xlabel=L"t", ylabel=L"\frac{y}{K_p}")
plot!(y_esc, lw = 2, label = "Escalón")
