Problema 6.5#
Un controlador P+I+D está en estado estacionario con una presión de salida de 9 psig. El set point y el punto de registro están juntos inicialmente. En el tiempo \(t\) = 0, el set point varía respecto al punto de registro a una velocidad de 0.5 in/min hacia lecturas más bajas. Si \(K_c\) = 2 psig/in de registro, \(\tau_I\) = 1.25 min y \(\tau_D\) = 0.4 min, dibujar la presión de salida frente al tiempo.
Solución
La salida de un controlador PID es:
\[c (t) = K_c \left( \varepsilon (t) + \frac{1}{\tau_I} \int_0^t \varepsilon(t) \mathrm{d}t + \tau_D \frac{\mathrm{d}\varepsilon (t)}{\mathrm{d}t} \right) + c_s\]
En este problema:
\[\begin{split}\begin{aligned}
K_c &= 2 \text{ psig} / \text{in}\\
\tau_I &= 1.25 \text{ min} \\
\tau_D &= 0.4 \text{ min} \\
c (t = 0 \text{ min} ) &= 9 \text{ psig} \\
\varepsilon (t) &= - 0.5 \text{ in} /\text{ min}
\end{aligned}\end{split}\]
Sustituyendo:
\[c (t) = 2 \left( - 0.5 t + \frac{1}{1.25} \int_0^t - 0.5 t \mathrm{d}t + 0.4
\frac{\mathrm{d}(- 0.5 t)}{\mathrm{d}t} \right) + c_s = - t - 0.8 \frac{t^2}{2} -
0.4 + c_s\]
El bias del controlador es \(c_s = 9.4 \text{ psig}\), ya que \(c (t = 0 \min) = 9 \text{ psig}\). Por tanto, la curva a representar es:
\[c (t) = 9 - t - 0.4 t^2\]
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using Plots
t = 0:0.1:4
plot(t, t -> 9-t-0.4*t^2, lw=2, legend=false,
xlabel="t (min)", ylabel="P (psig)")
hline!([0,0], lw=1, color="red")
