Problema 9.1

Sea el sistema de control representado en la figura:

donde \(G_1=\frac{1}{s+1}\) y \(G_2 = \exp(-1.02 s)\).

1. Si \(G_c = K_c\), determinar el offset de la respuesta para una entrada en escalón unidad.

2. Para eliminar el offset se recomienda que el controlador sea PID. ¿Qué valores de diseño recomendaría para los parámetros del controlador PID? Se sugiere usar el método de Ziegler-Nichols.

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Solución

a) En primer lugar, encontraremos la función de transferencia del lazo de control, \(G=\frac{C}{R}\), y, a continución calcularemos el offset.

Empezamos cargando el archivo clase.jl que ya carga las liberías y funciones necesarias, además también define las variables s y t:

include("../clase.jl");

Buscamos la función de transferencia \(G\) y calculamos el offset:

# Definición de la variable Kc
@vars Kc=>"K_c" positive=true

# Definición de las funciones de transferencia del lazo
G1 = 1/(s+1)
G2 = exp(-1.02s)
Gc = Kc

# Función de transferencia del lazo de control
G = Gc*G1*G2/(1+Gc*G1*G2)

# Cambio en la consigna en forma de escalón unidad
R = 1/s

# Respuesta del lazo de control
C = G*R

# Cálculo del offset
Offset = limit(s*(R-G*R), s, 0)

\[\begin{equation*}\frac{1}{K_{c} + 1}\end{equation*}\]

b) Para el método de Ziegler-Nichols, en primer lugar, hay que encontrar la frecuencia de cruce. Es decir, aquella frecuencia que provoca un retraso de \(-\pi\) rad. A partir de este valor, se puede encontrar la ganancia última \(K_u\), que marca el límite de estabilidad, y el periodo último \(P_u\) en esas condiciones.

Podemos encontrar \(\omega_{co}\) a partir del digrama de Bode:

salida = bode(G1*G2; co=true)

Dict{Any, Any} with 3 entries:
  "wco"   => 1.99558
  "RAco"  => 0.448006129689489
  "phico" => -3.14159

Es importante destacar que en el primero de los gráficos realmente se está representando \(\frac{RA}{K_c}\).

Con el valor de la frecuencia de cruce, se puede calcular el periodo último de oscilación:

\[P_u =\frac{2 \pi}{\omega_{co}}\]

Pu = 2*pi/salida["wco"]

3.1485565419006822

La ganancia última es el inverso de la razón de amplitudes para la frecuencia de cruce:

\[K_u = \frac{1}{RA_{co}}\]

Ku = 1/salida["RAco"]

\[\begin{equation*}2.2321123166174\end{equation*}\]

Sustituyendo los valores \(K_u\) y \(P_u\) en las fórmulas de Ziegler y Nichols se encuentra la sintonía del controlador PID:

Kc = Ku/1.7

\[\begin{equation*}1.31300724506906\end{equation*}\]

τI = Pu/2

1.5742782709503411

τD = Pu/8

0.3935695677375853