Problema 8.11#

El comportamiento dinámico de una compleja organización empresarial se puede considerar que es como un sistema de control por retroalimentación. Un modelo sencillo de un sistema de control de gestión se presenta en la figura adjunta:

prob811

con las siguientes funciones de transferencia:

  • \(G_c = \frac{k_1}{s}\), correspondiente a la actividad de festión de la empresa,

  • \(G_p = \frac{k_2}{\tau_p s+1}\), correspondiente a las actividades de ingeniería y producción, y,

  • \(H = k_4 +k_5s\) que represneta la actividad de evañuación de los resultados \(C(s)\) de la empresa.

El resultado de la evaluación, \(B(s)\), se compara con los objetivos propuestos, \(R(s)\), y la diferenica constituye la entrada al bloque de gestión, \(G_c\), que dará lugar a la acción correctora. \(D(s)\) representa las perturbaciones que actúan sobre la empresa.

  1. Calcular la constante de tiempo y el coeficiente de amortiguamiento de este sistema de control.

  2. Calcular el offset si se produce en la carga una perturbación unidad en forma de escalón.

  3. La respuesta en tiempo real a la perturbación anterior, ¿es oscilatoria? Si lo es, ¿qué período tiene?

  4. Para disminuir el offset frente a las variaciones en la consigna, ¿qué parámetro se debería modificar?

  5. Estudiar la estabilidad de este sistema de control. ¿Cómo afectaría a laa estabilidad la modificación anterior?

Datos:

  • \(k_1 k_2\)= 0.1

  • \(\tau_p\) = 10 meses

  • \(k_4\) = 5

  • \(k_5\) = 7.6

Solución

a) La función de transferencia que describe la dinámica de este lazo de control, para una cambio en las perturbaciones (cambio en la carga), es:

\[\frac{C (s)}{D (s)} = \frac{G_p}{1 + G_c G_p H} = \frac{\frac{k_2}{k_1 k_2 k_4} s}{\frac{\tau_p}{k_1 k_2 k_4} s^2 + \frac{1 + k_1 k_2 k_5}{k_1 k_2 k_4} s + 1}\]

Por tanto, la constante de tiempo y el coeficiente de amortiguamiento son:

\[\begin{split}\begin{aligned} \tau &= \sqrt{\frac{\tau_p}{k_1 k_2 k_4}} = 4.4721\\ 2 \tau \zeta &= \frac{1 + k_1 k_2 k_5}{k_1 k_2 k_4} \Rightarrow \zeta = 0.3935 \end{aligned}\end{split}\]

b) El offset para un cambio en la carga de tipo escalón unidad (\(D (s) = 1 / s\)) es:

\[\mathrm{Offset} = \lim_{t \to \infty} [R (t) - C (t)] = 0 - \lim_{s \to 0} C (s) = - \lim_{s \to 0} s \frac{C (s)}{D (s)} \frac{1}{s} = 0\]

El offset vale 0, lo que significa que la perturbación se anula completamente.

c) La respuesta será oscilatoria, ya que el coeficiente de amortiguamiento es menor que la unidad.

El período de la respuesta sera:

\[T = \frac{2 \pi \tau}{\sqrt{1 - \zeta^2}} = 30.565\]

d) La función de transferencia para cambios en la consigna es:

\[\frac{C (s)}{R (s)} = \frac{G_c G_p}{1 + G_c G_p H} = \frac{\frac{k_1 k_2}{k_1 k_2 k_4}}{\frac{\tau_p}{k_1 k_2 k_4} s^2 + \frac{1 + k_1 k_2 k_5}{k_1 k_2 k_4} s + 1} = \frac{\frac{1}{k_4}}{\tau^2 s^2 + 2 \pi \zeta s + 1}\]

Tal como era de esperar, la constante de tiempo y el coeficiente de amortiguamiento son los mismos que los calculados en elapartado a).

El offset para un cambio en la consigna escalón unidad (\(R (s) = 1 / s\)) es:

\[\mathrm{Offset} = \lim_{t \to \infty} [R (t) - C (t)] = \lim_{s \to 0} \left[ s \frac{1}{s} - s \frac{C (s)}{R (s)} \frac{1}{s} \right] = 1 - \frac{1}{k_4}\]

El offset se reducierá cuando:

\[\lim_{k_4 \to 1} \mathrm{Offset} = 0\]

Por tanto, el parámetro a modificar es \(k_4\). Se debe lograr que su valor sea lo más próximo a la unidad posible.

e) Para determinar si el sistema es estable al variar \(k_4\) se puede utilizar el método de Routh. La matriz de Routh es:

\[\begin{split}\begin{array}{ll} \frac{\tau_p}{k_1 k_2 k_4} & 1\\ \frac{1 + k_1 k_2 k_5}{k_1 k_2 k_4} & \\ 1 & \end{array}\end{split}\]

Se comprueba que el sistema es estable para cualquier valor de \(k_4 > 0\).