Problema 8.8#

Sea el sistema de control representado en la figura:

Problema 8.8

donde \(G_c=K_c\), \(G_1=\frac{1}{(\tau_1s+1)(\tau_2s+1)}\) y \(G_2=\frac{1}{\tau_3s+1}\).

  1. Calcular el offset de la respuesta del sistema si se produce una carga (\(U\)) en escalón unidad.

  2. Si \(\tau_1=1\), \(\tau_2=\frac{1}{2}\) y \(\tau_3=\frac{1}{3}\), ¿para qé valores de ganancia \(Kc\) es estable el sistema?

  3. Si se sustituyera el control proporcional por un control PI, siendo \(K_c=5\) y \(\tau_I=0.25\), ¿sería estable el sistema?

Solución

a) La función de transferencia para un cambio en la carga es:

\[\frac{C}{U} = \frac{G_1}{1 + G_c G_1 G_2} = \frac{\tau_3 s + 1}{(\tau_1 s + 1) (\tau_2 s + 1) (\tau_3 s + 1) + K_c}\]

El offset para un cambio en la carga en escalón unidad será:

\[\mathrm{offset} = \lim_{s \to 0} \left( s R - s \frac{C}{U} U \right) = \lim_{s \to 0} \left( s 0 - s \frac{C}{U} \frac{1}{s} \right) = - \frac{1}{1 + K_c}\]

b) La ecuación característica de este lazo de control es:

\[1 + G_c G_1 G_2 = 0\]

Obviamente la parte derecha de la ecuación característica coincide con el denominador de la función de transferencia encontrada en el apartado a). Por tanto,

\[(\tau_1 s + 1) (\tau_2 s + 1) (\tau_3 s + 1) + K_c = 0\]

Sustituyendo se encuentra:

\[0.1667 s^3 + s^2 + 1.833 s + 1 + K_c = 0\]

Para buscar para qué valores de \(K_c\) el sistema es estable se puede recurrir al criterio de Routh-Hurvitz. La matriz de Routh es:

\[\begin{split}\begin{array}{cc} 0.1667 & 1.833\\ 1 & 1 + K_c\\ 1.666 - 0.1667 K_c & \end{array}\end{split}\]

Para que el sistema sea estable:

\[1.666 - 0.1667 K_c > 0\]

Lo que supone que el sistema será estable para ganancias proporcionales que cumplan la siguiente condición:

\[0 < K_c < 9.994\]

c) Si el controlador propocional se sustituye por un controlador PI con ganancia \(K_c = 5\) y \(\tau_I = 0.25\), la nueva ecuación característica será:

\[1 + 5 \left( 1 + \frac{1}{0.25 s} \right) \frac{1}{(\tau_1 s + 1) (\tau_2 s + 1)} \frac{1}{\tau_3 s + 1} = 0\]

Sustituyendo y operando se obtiene:

\[4.1667 \cdot 10^{- 2} s^4 + 0.20833 s^3 + 0.375 s^2 + 1.625 s + 5 = 0\]

La matriz de Routh es:

\[\begin{split}\begin{array}{ccc} 4.1667 \cdot 10^{- 2} & 0.375 & 5\\ 0.20833 & 1.625 & \\ 4.9992 \cdot 10^{- 2} & 5 & \\ - 19.211 & & \end{array}\end{split}\]

En la primera columna de la matriz hay un elemento negativo, lo que implica que el nuevo lazo de control es inestable.