Definición de sistema lineal de primer orden

4.1. Definición de sistema lineal de primer orden#

Un sistema de primer orden es aquel cuya salida \(y(t)\) puede ser modelada por una ecuación diferencial de primer orden como:

(4.1)#\[a_1 \frac{\mathrm{d}y (t)}{\mathrm{d}t} + a_0 y (t) = b f (t)\]

donde \(f(t)\) es la entrada al sistema.

Si \(a_0 \neq 0\):

\[\frac{a_1}{a_0} \frac{\mathrm{d}y (t)}{\mathrm{d}t} + y (t) = \frac{b}{a_0} f(t)\]

Si se define \(\frac{a_1}{a_0} = \tau_p\) y \(\frac{b}{a_0} = K_p\) y se sustituye en la ecuación anterior se obtiene:

(4.2)#\[\tau_p \frac{\mathrm{d}y (t)}{\mathrm{d}t} + y (t) = K_p f (t)\]

donde:

\(\tau_p\) es la constante de tiempo del proceso
\(K_p\) es la ganancia del proceso

Si \(y(t)\) y \(f(t)\) están definidos mediante la utilización de variables de desviación alrededor del estado estacionario, las condiciones iniciales son \(y(0)=0\) y \(f(0)=0\).

Operando se encuentra la función de transferencia de un proceso de primer orden:

\[G (s) = \frac{K_p}{\tau_p s + 1}\]

Los sistemas de primer orden son los más frecuentes en los procesos de la industria alimentaria, por ello su estudio es de gran importancia. Estos sistemas se caracterizan por:

Su capacidad de almacenar materia, energía o cantidad de movimiento. Esta capacidad está directamente relacionada con la ganancia del proceso.
Una resistencia asociada con el caudal de materia, energía o cantidad de movimiento. Esta resistencia o inercia viene dada por la constante de tiempo.

En el caso particular de que \(a_0 = 0\):

\[G (s) = \frac{K_p}{\tau_p s}\]

Se trata de aquellos sistemas de primer orden denominados integradores puros y se hablará de ellos más adelante.