Problema 3.7

En un reactor tanque agitado se lleva a acabo una reacción irreversible de primer orden, \(A \rightarrow B\), con un coeficiente cinético \(k = 1 h^{- 1}\), El caudal de alimentación es de 10 l/min, con \(c_{A_0}\) = 0.5 mol/l. El volumen del tanque es de 1 \(m^3\). Determinar el efecto causado por una subida instantánea de la concentración a 0.7 mol/l. Indicar cual hubiese sido el transitorio, si la perturbación se hubiera producido en forma de impulso unidad. Cuáles serán la ganancia y la constante de tiempo del sistema?

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Solución

A partir del enunciado del problema se puede realizar el siguiente diagrama de flujo:

donde:

\[\begin{split}\left\{\begin{array}{l} q = 10 \text{l/min} = 0.6\ \mathrm{ m^3/h}\\ V = 1 \ \mathrm{m^3} \end{array}\right.\end{split}\]

El subíndice A indica que es la concentración del componente A y el subíndice i indica que se trata de la concentración de entrada.

La reacción química que se produce en el reactor es la siguiente:

\[A \rightarrow B\]

cuya constante cinética es \(k = 1 \text{ h}^{-1}\).

La concentración de entrada en el reactor antes de que se produzca el cambio de la concentración en escalón es \(c_{A i_0} = c_{A i} (t = 0) = 0.5\ \mathrm{mol/l}\).

A continuación hay que plantear el balance macroscópico de materia en estado no estacionario (BMM):

\[V \frac{\mathrm{d}c_A}{\mathrm{d}t} = q c_{A i} - q c_A - k c_A V\]

donde se ha supuesto que los caudales volumétricos (q), las densidades (\(\rho\)) y el volumen del reactor (V) son constantes e independientes del tiempo.

El balance macroscópico de materia  en estado estacionario (BMMe) del sistema es:

\[0 = q c_{A i_0} - q c_{A e} - k c_{A_{} e} V\]

donde el subíndice e indica que se trata de las concentraciones en estado estacionario. Este balance representa la situación antes de que se produzca ningún cambio.

Operando la ecuación anterior:

\[q c_{A i_0} = c_{A e} (q + k V)\]

El tiempo de residencia del reactor es:

\[\theta = \frac{V}{q}\]

Sustituendo y operando:

\[c_{A e} = \frac{c_{A i_0}}{1 + k \theta}\]

Sustituyendo los calores de las variables se obtiene que la concentración de salida del reactor del componente A en estadio estacionario, es decir, para tiempos menores o iguales a cero es:

\[c_{A e} = 0.1875 \text{ mol/l}\]

El siguiente paso es definir las variables de desviación para la entrada:

\[C_{A i} = c_{A i} - c_{A i_0}\]

y para la salida:

\[C_A = c_A - c_{A e}\]

Restando el BMMe al BMM se obtiene:

\[V \frac{\mathrm{d}c_A}{\mathrm{d}t} = q (c_{A i} - c_{A i_0}) - q (c_A - c_{A e}) - k (c_A - c_{A e}) V\]

Sustituyendo las variables de desviación y operando:

\[V \frac{\mathrm{d}C_A}{\mathrm{d}t} = q C_{A i} - C_A (q + k V)\]

Esta ú ltima ecuación es el modelo matemático del proceso planteado. Con objeto de resolver la ecuación diferencial se aplica la transformada de Laplace a la ecuación anterior:

\[V s \overline{C_A} = q \overline{C_{A i}} - \overline{C_A} (q + k V)\]

Para poder responder a las preguntas propuestas por el problema hay que plantear la siguiente función de transferencia:

\[G = \frac{\overline{C_A}}{\overline{C_{A i}}}\]

Combinando las dos ecuaciones anteriores se obtiene:

\[G = \frac{q}{V s + q + k V} = \frac{\frac{q}{q + k V}}{\frac{V}{q + k V} s + 1} = \frac{\frac{1}{1 + k \theta}}{\frac{1}{\theta^{- 1} + k} s + 1}\]

Lógicamente la función de transferencia es la propia de un sistema de primer orden. La ganancia del proceso será:

\[K = \frac{1}{1 + k \theta} = 0.375\]

Y la constante de tiempo es:

\[\tau = \frac{1}{\theta^{- 1} + k} = 0.625 h = 37.5 \min\]

El efecto de un cambio súbito de concentración de 0.5 a 0.7 mol/l, es decir, para una entrada en escalón de altura 0.2 mol/l es:

\[C_A = 0.375 \cdot 0.2 \text{ mol/l} \left( 1 - \mathrm{e}^{- \frac{t}{37.5 \min}} \right) = 0.075 \text{ mol/l} \left( 1 - \mathrm{e}^{- \frac{t}{37.5 \min}} \right)\]

Deshaciendo las variables de desviación se obtiene la ecuación que describirá la variación de la concentración del componente A en función del tiempo:

\[c_A = 0.075 \text{ mol/l} \left( 1 - \mathrm{e}^{- \frac{t}{37.5 \min}} \right) + 0.1875 \text{ mol/l}\]

Para una entrada que sea un impulso unidad la respuesta es:

\[C_A = \frac{K A}{\tau} e^{- \frac{t}{\tau}} = 0.6 \text{ mol/l } \mathrm{e}^{- \frac{t}{37.5 \min}}\]