3.4. Transformadas de algunas funciones singulares

A continuación se muestran las transformadas de algunas funciones con las que se trabajará frecuentemente más adelante ya que pueden ser asimiladas como las perturbaciones más frecuentes.

Si no se dice lo contrario todas estas funciones se definen para que su valor sea nulo a tiempo menor que cero.

3.4.1. Función escalón

Es una función cuyo valor para tiempos menores que cero es nulo y que alcanza el valor \(M\) para tiempo mayores que 0:

Fig. 3.6 Función escalón de altura \(M\).

Show code cell source Hide code cell source

using SymPy, Plots, LaTeXStrings

t = symbols("t")

plot(Heaviside(t), -1, 4, lw=2, legend=false,
     ylabel = L"\frac{f(t)}{M}",
     xlabel = L"t")

Esta función se define como:

\[\begin{split}f (t) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & t < 0\\ M & t > 0 \end{array}\right.\end{split}\]

La transformada de Laplace de esta función es:

\[\mathcal{L} [f (t)] = \frac{M}{s}\]

Si \(M\) es igual a 1 se habla de la función escalón unidad, \(U(t)\), o de la función de Heaviside, \(\theta(t)\).

Encontrar la transformada inversa de Laplace es muy sencillo utilizando Sympy:

# Definición de las variables que vamos a utilizar
M, t, s = symbols("M t s")

# Definimos un escalón unidad de altura M
f = M*Heaviside(t)

# Calculamos la trasnformada inversa de Laplace
sympy.laplace_transform(f, t, s, noconds=True)

\[\begin{equation*}\frac{M}{s}\end{equation*}\]

En el cálculo anterior, se ha utilizado la función de Heaviside como función escalón unidad. También se puede realizar el cálculo definiendo la función escalón como una constante \(M\) y asumiendo de manera implicita que ese valor es solo para \(t > 0\):

# Definimos un escalón unidad de altura M
f = M

# Calculamos la trasnformada inversa de Laplace
sympy.laplace_transform(f, t, s, noconds=True)

\[\begin{equation*}\frac{M}{s}\end{equation*}\]

Aunque la mayor parte de las veces las funciones de entrada sucende a tiempo 0, no es raro que aparezcan desplazadas en el tiempo, que sufran un retraso \(t_0\).

Fig. 3.7 Función pulso unidad retrasada en el tiempo un valor \(t_0\).

Show code cell source Hide code cell source

plot(Heaviside(t-2), -1, 5, lw=2, legend=false,
     xlabel="t", ylabel="f(t)")

En el caso de que la función tenga un retraso \(t_0\):

\[\begin{split}f (t) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & t < t_0\\ M & t > t_0 \end{array}\right.\end{split}\]

O lo que es lo mismo:

\[\begin{split}f (t - t_0) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & t < 0\\ M & t > 0 \end{array}\right.\end{split}\]

Por tanto, aplicando la propiedad de la transformada de Laplace, (ecuación (3.5)), la transformada de Laplace será:

\[\mathcal{L} [f (t - t_0)] = \frac{M}{s} \mathrm{e}^{- s t_0}\]

3.4.2. Función pulso

Se trata de una función pulso con área \(A = M t_0\). A continuación, en la figura de la derecha se muestra un pulso de altura unidad, \(M=1\). El pulso (línea roja) es la suma de un pulso unidad (línea verde) al que se le suma un pulso de altura -1 retrasado un tiempo igual a la anchura del pulso, es decir, \(t_0\):

Fig. 3.8 Un pulso, figura de la derecha, es la resta de dos funciones escalón de igual altura. El escalón negativo (azul) anula al escalón verde y forma el pulso (naranja).

Show code cell source Hide code cell source

to = 3
plot(Heaviside(t), -1, 6, color="green", lw=2,
    label="Escalón altura 1",
    xlabel="t", ylabel="f(t)", legend=:bottomleft)
plot!(-Heaviside(t-to), color="blue", lw=2,
     label="Escalón altura -1")
plot!(Heaviside(t)-Heaviside(t-to), color="orange",
    linestyle=:dash, lw=3, label="Pulso")

La función pulso se define como:

\[\begin{split}f (t) = \left\{\begin{array}{cc} 0 & t < 0\\ M & 0 < t < t_0\\ 0 & t > t_0 \end{array}\right.\end{split}\]

Utilizando la definición del escalón unidad también se puede escribir como:

\[f (t) = M [U (t) - U (t - t_0)]\]

Por tanto, la transformada de Laplace será:

\[\mathcal{L} [f (t)] = \bar{f} (s) = M \left( \frac{1}{s} - \frac{\mathrm{e}^{- s t_0}}{s} \right) = \frac{M}{s} (1 - \mathrm{e}^{- s t_0})\]

3.4.3. Función impulso

Se trata de un pulso de área \(A\) tal que \(M \rightarrow \infty\) y \(t_0 \rightarrow 0\):

Fig. 3.9 Función impulso de área \(A\).

La transformada de Laplace de esta función es:

\[\mathcal{L} [f (t)] = \bar{f} (s) = A\]

En el caso particular de que el área sea 1 se habla de la función delta de Dirac \(\delta (t)\).

A continuación se calcula la transformada de Laplace de un impulso de altura A, \(f(t) = A \delta(t)\):

A = symbols("A")

sympy.laplace_transform(A*DiracDelta(t), t, s, noconds=True)

\[\begin{equation*}A \left(1 - \theta\left(0\right)\right)\end{equation*}\]

Se puede comprobar fácilmente que el impulso es la derivada de la función escalón.

Ejemplo

En el Problema 3.4 se puede comprobar las diferencias y similitudes en la respuesta de un proceso a una entrada en escalón y en impulso.

3.4.4. Función rampa

Se trata de una función lineal de pendiente \(M\):

Fig. 3.10 Función rampa de pendiente \(M\).

Show code cell source Hide code cell source

plot(t*Heaviside(t), -1, 5, lw=2,
    xlabel="t", ylabel="f(t)",
    legend=false)

Esta función se define como:

\[\begin{split}f (t) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & t < 0\\ M t & t > 0 \end{array}\right. = M t U (t)\end{split}\]

La transformada de Laplace es:

\[\mathcal{L} [M t U (t)] = \frac{M}{s^2}\]

sympy.laplace_transform(M*t, t, s, noconds=True)

\[\begin{equation*}\frac{M}{s^{2}}\end{equation*}\]

3.4.5. Funciones trigonométricas

La función seno es:

Fig. 3.11 Función seno de frecuencia \(\omega\).

Show code cell source Hide code cell source

plot(sin(3*t)*Heaviside(t), -1, 10, 
     xlabel="t", ylabel="f(t)", lw=2, legend=false)

Se define la función como:

\[\begin{split}f (t) = \left\{\begin{array}{cl} 0 & t < 0\\ M \sin (\omega t) & t > 0 \end{array}\right. = M U (t) \sin (\omega t)\end{split}\]

donde \(M\) es la amplitud y \(\omega\) es la frecuencia angular, expresada normalmente como rad/s.

La transformada de Laplace de la función seno es:

\[\mathcal{L} [M \sin (\omega t)] = \frac{M \omega}{s^2 + \omega^2}\]

y la de la función coseno:

\[\mathcal{L} [M \cos (\omega t)] = \frac{M s}{s^2 + \omega^2}\]

w = symbols("omega")

sympy.laplace_transform(M*sin(w*t), t, s, noconds=True)

\[\begin{equation*}\frac{M \omega}{\omega^{2} + s^{2}}\end{equation*}\]