Problema 8.2

Considérese un proceso de segundo orden cuya función de transferencia es:

\[G_p = \frac{1}{s^2+2s+1}\]

1. ¿Es estable dicho proceso?

2. Si el proceso se encuentra en un lazo de control, con un controlador PI(\(K_c=100\), \(\tau_I=0.1\)), siendo las funciones de transferencia de los elementos medidor y final de control \(H=G_v=1\), ¿es estable dicho conjunto? (Puede aplicarse el criterio de Routh-Hurvitz)

3. Hacer el análisis de estabilidad de este sistema de lazo de control en función de \(K_c\) y\(\tau_I\).

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Solución

a) El diagrama de bloques de este proceso es:

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using PyCall, LaTeXStrings

schemdraw = pyimport("schemdraw")
dsp = pyimport("schemdraw.dsp")

d = schemdraw.Drawing(unit=1, fontsize=12)

d.add(dsp.Arrow().right())
proc = d.add(dsp.Box(w=1.5, h=1).label(L"G_p").anchor("W"))
d.add(dsp.Arrow().right().at(proc.E))

d.draw(show=false)

La ecuación característica de este sistema será el numerador de la función de transferencia ya que el sistema será estable siempre que sus raíces tengan la parte real negativa:

\[s^2 + s + 1 = 0\]

Para comprobar la estabilidad del proceso se puede aplicar el método de Routh-Hurwitz. La matriz de Routh es:

\[\begin{split}\begin{array}{ll} 1 & 1\\ 2 & \\ 1 = \frac{(2) (1)}{2} & \end{array}\end{split}\]

Todos los elementos de la primera columna son positivos, por tanto el sistema es estable.

b) Al existir un controlador por retroalimentación, el diagrama de bloques pasa a ser:

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d = schemdraw.Drawing(unit=1, fontsize=12)

d.add(dsp.Arrow().right())
comp = d.add(dsp.Mixer(W="+", S="-").anchor("W"))
d.add(dsp.Arrow().right().at(comp.E))
proc = d.add(dsp.Box(w=1.5, h=1.25).label(L"G_c"*"\nPI").anchor("W"))
d.add(dsp.Arrow().right().at(proc.E))
proc = d.add(dsp.Box(w=1.5, h=1.25).label(L"G_p").anchor("W"))
d.add(dsp.Line().right().at(proc.E))
dot = d.add(dsp.Dot(radius=0))
d.push()
d.add(dsp.Arrow().right().at(dot.center))
d.pop()
d.add(dsp.Line().down().length(1.5))
d.add(dsp.Line().left().tox(comp.S))
d.add(dsp.Arrow().up().to(comp.S))

d.draw(show=false)

En este caso la ecuación característica es:

\[1 + G_c G_p = 0\]

Sustituyendo las funciones de transferencia se obtiene:

\[1 + 100 \left( 1 + \frac{1}{0.1 s} \right) \frac{1}{s^2 + s + 1} = 0\]

Operando se encuentra que:

\[\frac{s^3 + s^2 + 101 s + 1000}{s^3 + s^2 + s} = 0\]

Por tanto:

\[s^3+s^2+101 s+1000=0\]

La matriz de Routh será:

\[\begin{split}\begin{array}{ll} 1 & 101\\ 1 & 1000\\ - 899 & \end{array}\end{split}\]

El sistema es inestable ya que uno de los elementos de la primera columna tiene signo negativo.

c) La ecuación característica en este caso es:

\[1 + K_c \left( 1 + \frac{1}{\tau_I s} \right) \frac{1}{s^2 + s + 1} = 0\]

Operando se encuentra que:

\[\frac{\tau_I s^3 + \tau_I s^2 + (K_c + 1) \tau_I s + K_c}{\tau_I s^3 + \tau_I s^2 + \tau_I s} = 0\]

Por tanto,

\[\tau_I s^3 + \tau_I s^2 + (K_c + 1) \tau_I s + K_c = 0\]

La matriz de Routh es:

\[\begin{split}\begin{array}{ll} \tau_I & (K_c + 1) \tau_I\\ \tau_I & K_c\\ \frac{\tau_I^2 (K_c + 1) - \tau_I K_c}{\tau_I} & \end{array}\end{split}\]

Para que el sistema sea estable todos los elementos de la primera columan deben ser positivos, lo que implica que:

\[\tau_I > 0$$ $$\tau_I (K_c + 1) - K_c > 0\]

La constante de tiempointegral y la ganancia del controlador son, por definición, positivas. Resolviendo la inecuación se encuentra que para que el sistema sea positivo se tiene que cumplir la condición:

\[\tau_I > - \frac{K_c}{K_c + 1}\]

o la condición:

\[K_c > \frac{\tau_I}{\tau_I - 1}\]