Problema 7.8#

En muchas ciudades se han realizado esfuerzos significativos para reciclar los envases de vidrio. En la figura siguiente se representa un diagrama de bloques simplificado del proceso de reciclado de una ciudad:

prob708.svg

El énfasis de la campaña de recolección viene dado por la ganancia \(K\). La perturbación \(U\) representa los envases que se rompen o se tiran a la basura o a otro lugar no controlado. Suponter \(\tau_1 = 1\mathrm{ mes}\) y \(\tau_2 = 0.5\mathrm{ mes}\). Determinar:

  1. La ganancia \(K\) para que es sistema esté crítcamente amortiguado.

  2. El offset para una entrada en escalón unidad en la consigna, suponiendo \(U(s)=0\). ¿Cuán sería ese oofset para la ganacia del apartado a)?

  3. El offset para una pérdida de envases \(M\) en escalón, suponiendo que no varía la consigna. ¿Este offset será positivo o negativo?

Solución

a) La función de transferencia \(\frac{C (s)}{R (s)}\) es la siguiente:

\[\frac{C (s)}{R (s)} = \frac{\frac{K}{s + 1}}{1 + \frac{K}{s + 1} \frac{1}{0.5 s + 1}} = \frac{\frac{K (0.5 s + 1)}{1 + K}}{\frac{0.5}{1 + K} s^2 + \frac{1.5}{1 + K} s + 1}\]

La constante de tiempo de esta función de transferencia es:

\[\tau = \sqrt[]{\frac{0.5}{1 + K}}\]

Y el coeficiente de amortiguamiento:

\[\zeta = \frac{\frac{1.5}{\sqrt{2}}}{\sqrt{1 + K}}\]

Un sistema está críticamente amortiguado cuando su coeficiente de amoritguamiento es la unidad. Por tanto, de la expresión anterior se obtiene:

\[K = 0.125\]

b) El offset será:

\[\mathrm{Offset} = \lim_{t \to \infty} [R (t) - C (t)] = \lim_{s \to 0} s [R (t) - C (t)] = \lim_{s \to 0} \left[ s \frac{1}{s} - s \frac{C (s)}{R (s)} \frac{1}{s} \right] = \frac{1}{1 + K}\]

Para \(K = 0.125\):

\[\mathrm{Offset} = 0.889\]

c) La función de transferencia \(\frac{C (s)}{U (s)}\) es:

\[\frac{C (s)}{U (s)} = \frac{1}{1 + \frac{K}{s + 1} \frac{1}{0.5 s + 1}} = \frac{\frac{0.5 s^2 + 1.5 s + 1}{1 + K}}{\frac{0.5}{1 + K} s^2 + \frac{1.5}{1 + K} s + 1}\]

El offset es en este caso:

\[\mathrm{Offset} = \lim_{t \to \infty} [R (t) - C (t)] = \lim_{s \to 0} s [R (t) - C (t)] = \lim_{s \to 0} \left[ s 0 - s \frac{C (s)}{U (s)} \frac{M}{s} \right] = - \frac{M}{1 + K}\]

Como M es un valor negativo (pérdida de envases), el offset es positivo, es decir, \(R (t) > C (t)\).