3.5. Inversión de transformadas. De vuelta al tiempo real

Continuando con el ejemplo se estudiará la salida del sistema para una entrada de tipo escalón unidad:

\[\bar{H} (s) = \left[ \frac{R}{R A s + 1} \right] \overline{Q_1} (s) = \left[ \frac{R}{R A s + 1} \right] \frac{1}{s}\]

Mediante el operador transformada inversa de Laplace (\(\mathcal{L}^{- 1}\)) se obtiene la salida en tiempo real. Para ello hay que descomponer la función a invertir en partes asimilables a las que se encuentran en las tablas de transformadas de Laplace (apartado Transformadas de Laplace):

\[\bar{H} (s) = \left[ \frac{R}{R A s + 1} \right] \frac{1}{s} = \frac{a}{s} + \frac{b}{s + \frac{1}{A R}}\]

Donde \(a\) y \(b\) son dos variables a determinar. Obviamente, \(a = R\) y \(b = - R\). Por tanto,

\[H (t) = \left[ R - R \mathrm{e}^{- \frac{t}{R A}} \right] U (t) = R U (t) \left[ 1 - \mathrm{e}^{- \frac{t}{R A}} \right] = R U (t) \left[ 1 - \mathrm{e}^{- \frac{t}{\tau}} \right]\]

donde \(\tau = R A\) es la constante de tiempo y tiene dimensiones de tiempo.

Tamibén se puede realizar la transformada inversa de Laplace de una manera muy simple utilizando Sympy:

using SymPy, Plots, LaTeXStrings

# Definición de los símbolos necesarios
R, A, t = symbols("R A t", real=True)
s = symbols("s")

# Definición de la función de transferencia, G(s)
G = R/(R*A*s+1)

# Definición de la función de entrada, f(s), 
# en este caso un escalón unidad
f = 1/s

# Cálculo de la respuesta, H(t)
sympy.inverse_laplace_transform(G*f, s, t)

\[\begin{equation*}R \theta\left(t\right) - R e^{- \frac{t}{A R}} \theta\left(t\right)\end{equation*}\]

Cuanto mayor es \(\tau\) más lenta es la respuesta, más tarda el sistema en alcanzar el estado estacionario. Se comprueba que cuanto menor es la sección del tanque más rápida es la respuesta. Si \(\tau\) es grande se dice que el sistema presenta una gran inercia.

Fig. 3.12 Influencia en la respuesta de la constante de tiempo.

Show code cell source Hide code cell source

Taus = [1//2, 1, 2, 4, 8 ]
f = 1/s
Yt = []
fig_inv = plot(lw=2,
    xlabel=L"t", ylabel=L"y(t)", legend=:bottomright)

for τ in Taus
    G = 1/(τ*s+1)
    y = G*f
    yt = sympy.inverse_laplace_transform(y, s, t)
    push!(Yt, yt)
end

for i in 1:5
    tau = float(Taus[i])
    plot!(Yt[i], -0.5, 10, lw=2, label=L"\tau_%$i = %$tau")
end

display(fig_inv)

Ejemplo

La técnica propuesta en este capítulo para obtener modelos matemáticos se puede utilizar para modelos de mayor complejidad, como el que se obtiene en la resolución del Problema 3.7.